mathe geometrie/ logik..

...komplette Frage anzeigen

5 Antworten

Ich biete folgende Lösung an:

Ansatz: Ich berechne den Flächeninhalt Fq des oberen rechten Quadranten der zentralen Figur. Da die Figur symmetrisch ist, ist ihr gesamter Flächeninhalt F dann gleich dem Vierfachen des Flächeninhaltes Fq dieses Quadranten, also:

F = 4 * Fq

Zur Berechnung von Fq lege ich das Quadrat der Seitenlänge a so in das Koordinatensystem, dass der linke untere Eckpunkt (ich nenne ihn A und alle weiteren Punkte entgegen dem Uhrzeigersinn B, C und D) im Ursprung liegt. Es ist hilfreich, sich eine entsprechende Skizze anzufertigen!

Der Kreis um den Punkt A hat dann die Gleichung:

f ( x ) = Wurzel ( a ² - x ² )

Der Schnittpunkt S der Kreise um die Punkte A und B ist

S ( a / 2 | f ( a / 2 ) ) = ( a / 2 | Wurzel ( a ² - a ² / 4 ) )

= ( a / 2 ) | ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) )

Aus Symmetriegründen ist die y-Koordinate dieses Punktes gleich der x-Koordinate des Schnittpunktes der Kreise um die Punkte A und D.

Der Flächeninhalt Fq des oberen rechten Quadranten ist dann gleich dem Integral von ( a / 2 ) bis ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) über den Kreis um den Punkt A, abzüglich des Flächeninhaltes R des Rechtecks unterhalb dieses Quadranten. Dieser Flächeninhalt R ist:

R = Höhe * Breite = ( a / 2 ) * ( ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) - ( a / 2 ) )

= ( a / 2 ) * ( a / 2 ) * ( Wurzel ( 3 ) - 1 )

= ( a ² / 4 ) * ( Wurzel ( 3 ) - 1 )

Zusammengefasst gilt also:

F = 4 * Fq = 4 * ( INT [ ( a / 2 ) ... ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) ] Wurzel ( a ² - x ² ) dx - R )

Die Stammfunktion

INT Wurzel ( a ² - x ² ) dx

ist dieselbe, wie in meiner damals berechneten Lösung (siehe Link in einem meiner Kommentare):

= 0,5 * ( x * Wurzel ( a ² - x ² ) + a ² * arcsin ( x / a ) )

sodass für das bestimmte Integral:

INT [ ( a / 2 ) ... ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) ] Wurzel ( a ² - x ² ) dx

gilt:

= 0,5 * ( ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) * Wurzel ( a ² - ( ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) ) ² ) + a ² * arcsin ( ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) / a ) )

-0,5 * ( ( a / 2 ) * Wurzel ( a ² - ( a / 2 ) ² ) + a ² * arcsin ( ( a / 2 ) / a ) )

= ( a / 4 ) * ( Wurzel ( 3 ( a ² - ( 3 a ² / 4 ) ) ) - Wurzel ( a ² - ( a ² / 4 ) ) )

+( 1 / 2 ) * a ² ( arcsin ( ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) / a ) - arcsin ( ( a / 2 ) / a ) )

[ Wurzel ( 3 ( a ² - ( 3 a ² / 4 ) ) ) - Wurzel ( a ² - ( a ² / 4 ) ) = 0,

arcsin ( ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) / a ) = arcsin ( Wurzel ( 3 ) / 2 ) = pi / 3

arcsin ( ( a / 2 ) / a ) ) = arcin ( 1 / 2 ) = pi / 6

also:]

= 0 + ( a ² / 2 ) * ( ( pi / 3 ) - ( pi / 6 ) )

= a ² * ( pi / 12 )

.

Somit gilt also für den Flächeninhalt F der zentralen Figur:

F = 4 * Fq

= 4 * ( a ² * ( pi / 12 ) - ( a ² / 4 ) * ( Wurzel ( 3 ) - 1 ) )

= 4 * ( a ² * ( pi / 12 ) - a ² / 4 * Wurzel ( 3 ) + a ² / 4 )

= a ² * ( ( pi / 3 ) - Wurzel ( 3 ) + 1 )

= a ² * 0,315...

Die zentrale Figur nimmt also etwas mehr als 31,5 % des Flächeninhaltes des gegebenen Quadrates ein.

Vielleicht musst du die Kreise die überlappenden Kreis seiten zu einem Kreis zusammmen setzen und nacher die Fläche des Quadrates und des zusätzzlichen neuen Kreis ausrechnen und ja... Ist nur eine idee...

hab ich schon probiert, kann aber nicht gehen, weil sich einige seiten sich auch noch überlappen, es geht ja aber nur um die stelle wo alle aufeinander treffen. aber trotzdem dankeschön! (:

0

Ich denke mal, der Radius des Kreises ist halb so groß wie die Seitenlänge. Dabei entsteht an jeder Ecke ein 1/4 Kreis und in der Mitte bleibt ein "Viereck" übrig. Wenn man die Viertelkreise zusammensetzt, dann bekommt man ja einen ganzen Kreis. Du musst also von der Fläche des Quadrats die Fläche des Kreises abziehen

Fläche Quadrat=a²

Fläche Kreis=1/4 Pi a²

Fläche "Viereck"=a²-1/4 Pi a²=a²(1-1/4 Pi)

a²=100%

1=100/a² %

a²(1-1/4 Pi)=a²(1-1/4 Pi) * 100/a² %=(1-1/4 Pi) * 100 %=21,46 %

das dachte ich mir auch erst, aber das ist zu viel, denn die kreise überlappen sich nicht nur in dem kleinen "viereck" , sondern je 2 kreise noch an anderen stellen des entstehenden musters, also wäre der ganze kreis zu viel..

0

Ich glaub, jetzt hab ich die Aufgabe richtig verstanden. Dann ist diese Rechnung leider falsch. Ich tüftel dann mal nach einer anderen :-)

0

Ich hätte eine Idee weis aber nicht genau was du mit "Das kleine Viereck ist gemeint" sagen willst wie werden den die Kreise gezeichnet hast du Zahlen?

nein das ist auf alle diese Quadrate bezogen, deshalb habe ich keine zahlen, ich finde aber auch kein bild... also man zeichnet ein quadrat, setzt dann den zirkel an eine ecke an, nimmt die seite des quadrats als radius und zeichnet von der ecke aus praktisch 1/4 des kreises, das mach man an jeder ecke. dabei entsteht ein muster, was wie ein stern aussieht und in der mitte, wo alle 4 kreisbögen aufeinander treffen ist gemeint...

0

Welchen Radius sollen die Kreise haben?

Und was für eine Überlappungsfläche ("kleines Viereck") ist gemeint?

Wenn ich Kreise ziehe, kann aus deren Rändern kein Viereck entstehen ...

logisch wäre als radius nur die seitenlänge des Quadrats.. ich zeihe praktisch im quadrat kreise..

0

Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass der Radius die halbe Seitenlänge groß sein soll. Die Fläche die dann in der Mitte stehen bleibt ist zwar kein richtiges Viereck, aber ich glaube, das ist schon damit gemint.

0
@tinafritz1992

Wenn man um die vier Ecken des Quadrates Kreise mit dem Radius der Seitenlänge des Quadrates zieht, dann entsteht im Kreisinneren ebenfalls eine Figur, die vier Ecken und vier etwas nach außen gewölbte Seiten hat. Ist diese Figur gemeint?

0
@tinafritz1992

also anhand eines Bsp. bin ich mir ziemlich sicher, dass die fläche 50% ausmacht! ich bin nämlich über die symmetrie gegangen. jetzt muss ich es nurnoch schaffen das Bsp. in eine allgemeine form zu bekommen...!

0
@dfghi

Die Fläche wird sicher wesentlich weniger als die Hälfte der Quadratfläche ausmachen. Ich schätze sie auf etwas mehr als ein Achtel Quadratfläche.

Begründung: "Drückt" man die gewölbten Seiten der Figur auf gerade Linien zusammen, dann entsteht ein Quadrat, dessen Fläche gerade 1 / 8 der Fläche des äußeren Quadrates ausmacht, wie man sich überlegen kann.

die Berechnung erscheint einigermaßen aufwändig. Ich habe eine ähnliche Aufgabe zu meiner "Anfangszeit" bei gf einmal gelöst. Vielleicht hilft ein Blick darauf ...?

http://www.gutefrage.net/frage/flaechenbrechnen

Ich habe leider jetzt keine Zeit mehr, mich mit dieser Aufgabe zu befassen - ich merke sie mir aber mal vor, und werde mich daran machen, falls nicht jemand anders sie zwischenzeitlich lösen kann ...

0
@JotEs

ja ich habe mich vertan, bin gerade bei einem neuen ansatz, aber teilweise komme ich einfach immer nicht weiter, weil ich zu viele variablen verwenden muss..! danke für den link, den werde ich mir mal anschauen! (:

0
@dfghi

Wie sieht denn dein neuer Ansatz aus? Vielleicht hilft er mir ja auf die Sprünge!

0

Was möchtest Du wissen?