Mathe-Frage /Streifentheorie- Archimedes / Integrale

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1 Antwort

Ich weiß nicht einmal genau, wie du auf diese Gleichung für die Untersumme überhaupt kommst... Ich habe mich zugegebenermaßen noch nicht mit der Streifenmethode des Archimedes vertraut gemacht, aber deinem Text nach zu urteilen wählt man dabei für das Intervall [0, x] eine äquidistante Zerlegung und berechnet damit die Untersumme. => Du berechnest doch f(kx / n) für natürliche Zahlen k zwischen 0 und n - 1, oder?

Also f(0), f(x / n), f(2x / n) usw...

f(0) = 1

f(x / n) = x / n + 1

f(2x / n) * 2x / n + 1

f(3x / n) = 3x / n + 1

...

f((n-1) * x / n) = (n - 1) * x / n + 1. Nun multipliziert man jeden Funktionswert mit der Länge des zugehörigen Intervalls (also mit x/n) und summiert dann alles auf.

=> Un = x/n * (1 + x / n + 1 + 2x / n + 1 + 3x / n + 1 + ... + (n - 1) * x / n + 1). Ich frage mich nun, wie oft wohl der Summand "+1" vorkommen mag. Er tut es genau n mal:

= x/n * (n + x / n + 2x / n + ... + (n - 1) * x / n)

= x + x² / n² * (1 + 2 + 3 + ... + (n-1))

= x + x² / n² * 1/2 * (n-1) * n

= x + x² / n * 1/2 * (n - 1)

= x + 1/2 * x² - 1/2 * x² / n

~> x + 1/2 * x².

Wow, erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort. Du liegst vollkommen richtig mit der Vermutung dass eine Zerlegung gewählt wird ( Obersumme und Untersumme). Gegen Ende wird sich mit der Grenzwertberechnung an die genaue Fläche angenähert.

Nur verstehe ich nicht, woher du in der zweiten Zeile der Rechnung das erste x bekommst ?

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@igelhaus89

x + x² / n² * (1 + 2 + 3 + ... + (n-1))

Meinst du hier? Ich habe einfach das Distributivgesetz angewendet, indem ich das n aus der Klammer mit dem x/n vor der Klammer multipliziert habe. Den Rest hab ich erstmal eingeklammert gelassen.

Ich nenne mal a = x / n + 2x / n + ... + (n - 1) * x / n. Dann steht in der ersten Zeile:

x / n * (n + a). Nun wendet man das Distributivgesetz an:

= x / n * n + x / n * a

= x + x / n * a

= x + x / n * (x / n + 2x / n + ... + (n - 1) * x / n). Danach klammere ich aus der Klammer nochmal x / n aus und komme auf den Term, der bei mir in der zweiten Zeile steht.

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