Mathe Folgen Reihen Problem!

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4 Antworten

Du nimmst jetzt einfach die 1 Formel und vereinfachst sie so weit wie möglich. Am Ende sollte dort stehen b1=... oder es kann auch q=... sein. Dass setzt du in die andere ein (also wie ein Gleichungssystem). Rechnest das aus und solltest jetzt b oder q als Zahl haben. Und damit solltest du die andere ausrechnen können.

das ist mir bewusst, jedoch bring ich es einfach nicht zusammen das ich es vereinfache, ich versteh das einfach nicht bei dieser Aufgabe :/ kann mir nicht jemand den gesamten lösungsweg vom vereinfachen zeigen?

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angenommen es ist eine geometrische FOLGE, keine Reihe

  1. Gleichung x+nx+n²x=19

  2. Gleichung x mal nx mal n²x = 216 ,also x³n³ = 216, und (xn)³ = 216 dann ziehe ich die dritte Wurzel aus dieser Gleichung und bekomme xn=6

In die erste gleichung xn eingesetzt:

x+6+n²x=19

x+n²x=13

x (1+n²)=13

geht mit ganzen Zahlen nicht, außer für x=13 und n=0. n muss aber ungleich null sein, sonst ist die Folge nicht geometrisch.

wegen xn=6 kann man die erste Gleichung auch auf eine Variable reduzieren, dann bekommt man

6/n + 6 + 6n = 19, also

6/n + 6n = 13.

oder 1/n + n = 13/6

das kann ich aber auch nicht lösen. Nur durch Ausprobieren komme ich darauf, dass die Lösung zwischen 1 und 2 liegen muss

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@michaelafe

und genau durch diese Ausprobieren komme ich auf n= 3/2 und x =4

Die zahlen lauten also 4, 6 und 9

Deren Summe ist tatsächjlich 19, das Produkt tatsächlich 216. Wäre auch für mich interessant, wenn jemand eine ganz genaue Lösung ohne Ausprobieren weiß.... Hoffe Dir zumindest zur Hälfte geholfen zu haben.

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@michaelafe

jetzt seh ich dorch noch was: 13/6 nach links rüber

1/n + n - 13/6 = 0 /mit n multiplizieren

1 + n² - 13/6 n = 0 /ordnen für die p/q-Formel

n² - 13/6 n +1 = 0 /lösungsformel

x 1/2 = 13/12 +/- Wurzel aus (169/144 - 1)

x 1/2 = 13/12 +/- 5/12

x1 = 18/12

x2= 8/12

die erste Lösung ist also 18/12 = 3/2 wie oben, und es gibt noch eine zweite Lösung mit x= 2/3 und daraus ergibt sich n =9

die ist allerdings nicht stimmig zur ersten Gleichung, keine Ahnung warum

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@michaelafe

aber umgekehrt, x=9 und n=2/3 würde passen und auch zu den Zahlen 9,6 und 4 führen

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Dein Ansatz ist richtig; Lösungswege wurden schonvon anderen gepostet.
Prinzipiell ist bei solchen Aufgaben "leichter", mit dem mittleren Glied zu rechnen, also:
b2/q + b2 + b2q = 19
b2/q * b2 * b2
q =216 ==> b2^3 = 216 ==> b2 = 6.
Der Rest sollte dann wohl kein Problem sein.

Wähle zuerst eine Anordnung der Folgen-Elemente dergestalt, dass (den Fall q= 1 lasse ich weg notationell, aber er wird mitgeschleppt),

b_1 > b_2 > b_3 > 0.

Dann ist, da die so definierte Folge immer noch eine geometrische Folge ist,

b_3 =q*b_2 = q^2 * b_1., b:= b_1

Wir wissen zwei Dinge,

(I) 19 = b_1 + b_2 +b_3 = (1+q+q^2)*b

(II) 216 = (b)(bq)(bq^2) = b^3 * q^3 <=> 6/b = q <=> b = 6/q

In (I):

19 = (1+q + q^2) * (6/q)

19 * q = 6 + 6 * q+ 6 *q^2

0 = 6 - 18 * q + 6 *q^2

0 = 1 - 3 * q + q^2

Die Lösung hierfür ist (pq-Formel, aber ich hab das grad im Kopf versucht),

q_1/2 = 3/2 +/- Wurzel(2),

wobei nur

q:= q_1 = 3/2 - Wurzel(2) < 1,

nach Forderung von q < 1 die Lösung sein kann,

d.h.,

q = 3/2 - Wurzel(2),

b = 6/q = 6/(3/2 - Wurzel(2))

VG, dongodongo

PS: Ohne Gewähr auf Rechenfehlerfreiheit^^

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