Mathe Extremwertfunktionen Erklären?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe 16 - (Schule, Mathe, Mathematik)

3 Antworten

Hallo,

bei Extremwertaufgaben benötigst Du eine Zielfunktion, deren Ableitung Du gleich Null setzt, um den Extremwert herauszufinden; dazu eine Nebenbedingung, mit deren Hilfe Du eine Unbekannte eliminieren kannst.

Die Nebenbedingung bekommst Du aus dem Umfang, der mit 2m angegeben ist.

Der Umfang berechnet sich aus dem Halbkreis über dem Rechteck und dem Rechteck selbst, von dem Du nur die Unterseite und die beiden Seiten rechts und links brauchst.

Die Unterseite ist 2r, das Doppelte vom Halbkreisradius r, die beiden Seiten nennst Du h.

Umfang ist also 2r+2h+π*r (der Umfang des Halbkreises), das soll gleich 2 sein:

2r+2h+πr=2 (durch 2 teilen; muß nicht sein, ist aber praktisch):

r+h+0,5πr=1

Nach h auflösen:

h=1-r-0,5πr=1-r(1+0,5π).

Die Rechteckfläche soll maximal werden. Sie berechnet sich aus 2r*h.

Wenn Du nun h durch 1-r(1+0,5π) ersetzt, bekommst Du die Zielfunktion
f(r)=2r*[1-r(1+0,5π)]=2r-2r²*(1+0,5π)

f'(r)=2-4r*(1+0,5π)

Dies soll Null werden:

2-4r*(1+0,5π)=0 |:2

1-2r*(1+0,5π)=0

2r*(1+0,5π)=1

2r=1/(1+0,5π)
r=1/(2+π)

Dann ist h=1-[1/(2+π)*(1+0,5π)]=0,5

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von kempi87
02.02.2016, 00:33

die querschnittfläche soll maximal werden. bei dir ist nur das rechteck maximal. da fehlt die fläche des halbkreises

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Also hausaufgaben werden dir hier nicht gemacht...
Du musst erstmal die formeln für die fläche und den umfang aufschreiben. Rechteckseiten a und b und dadurch den radius des halbkreises.
Dann musst du die formel für den umfang aufstellen damit er 2m beträgt.
Dadurch kannst eine variable a oder b auflösen. Also a durch b darstellen.
Zb 2m=a×b -> a=2m/b
Das setzt du in die formel für die fläche ein und leitest diese ab und setzt sie 0.
Also den extremwert.

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Was genau willst du jetzt wissen? Was ein Extremwert überhaupt ist? Wie man ihn und die zugehörige Stelle berechnet? Wie man die zu maximierende Zielfunktion in Aufgabe 16 aufstellt?

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