Mathe: Erwartungswert einer Zufallsvariablen, Binomialkoeffizienten?

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1 Antwort

Der Erwartungswert definiert den zu erwartenden Mittelwert, wenn man einen Versuch mehrere Male durchführt, wobei bei höherer Anzahl Versuchen der Erwartungswert E immer mehr angenähert wird. 
Die allgemeine Formel dazu ist :

 E(x)= x1*P(x1)+x2*P(x2)+x3*P(x3)+...+xn*P(xn)

Jedes Glied steht für einen möglichen Ausgang des Versuches (x*P(x2)) bis xn verschiedenen Ausgängen
E= Erwartungswert
P=Wahrscheinlichkeit
x= Wert, der rauskommt (Ergebnis eines Versuchs)

Beispiel: Bei einem Glücksspiel, wo man pro Spiel (Versuch) 3€ einsetzen muss und dabei die Wahrscheinlichkeiten P für folgenden Ausgänge (Ausgaben des Automaten) so betragen:
0€ Ausgabe 1/2=0,5 (x1)
1€ Ausgabe 1/4=0,25 (x2)
3€ Ausgabe 1/8=0,25 (x3)
5€ Ausgabe 1/8=0,125 (x4)
Man stellt fest, wenn man alle Einzelwahrscheinlichkeiten addiert, muss 1 rauskommen, hier (erweitert): 4/8+2/8+1/8+1/8=8/8=1
Man muss es nun in die Formel einsetzen, es wird nun der Durchschnittwert (Erwartungswert) berechnet, wie viel € pro Einsatz aus dem Automaten kommen

E(x)= 0*0,5+1*0,25+3*0,25+5*0,125
E(x)=0+0,25+0,75+0,625
E(x)=1,625

Daraus folgert nun, dass man durchschnittlich 1,625€ (1,63€) pro Spielzug ausgegeben bekommt. Jedoch ist der Einsatz 3€, somit beträgt der Gewinn 1,625€-3,00€=-1,375€ (-1,38€). Anders gesagt, macht man pro Zug 1,38€ Verlust, der Automat verdient dann 1,38€ je gemachten Zug.

Zum Binominialkoeffizienten:

Der Binominialkoeffizient besteht aus 2 Teilen: 

n definiert die gesamte Anzahl an gemachten Versuchen
k definiert die Anzahl erfolgreicher Versuche

Der Binominialkoeffizient ist (gesprochen : "n über k", !=Fakultät,
 / = Bruchstrich)

(n) = n!/k!*(n-k)!
(k)

Es wird jedoch in einer Klammer geschrieben, was jedoch auf dem PC schwer darzustellen ist.

Mit dem Binominialkoeffizienten kann man die Anzahl verschiedener Möglichkeiten (Ergebnis) berechnen, bei der eine bestimmte Anzahl erfolgreich ist (k) aus einen bestimmten Anzahl Versuchen (n)

Zur Veranschaulichung hier ein Beispiel:

Im Lotto muss man ja 6 richtige Zahlen aus 49 auszuwählenden tippen. Hier kann man mit dem Binominialkoeffizienten die Anzahl verschiedener Möglichkeiten berechnen, 6 aus 49 auszuwählen, also: (n=49 k=6)

(49) = 49!/6!*(49-6)! = 13.983.816
(6)

Somit hat man 13.983.816 Möglichkeiten, 6 (erfolgreiche) Zahlen aus 49 (gesamt) auszuwählen..

Bei kleineren Werten kann auch das Pascalsche Dreieck helfen, den Binominialkoeffizient zu berechnen, aber das sei hier zu viel des Guten, wenn du jedoch auch dies erklärt haben möchtest, dann schreib einfach dies als Kommentar.

Ich hoffe, dass ich dir hiermit weiterhelfen konnte, bei Fragen diese einfach stellen.

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Kommentar von ToxicPixel
12.10.2016, 20:38

Wow, vielen dank.

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