Mathe: Cosinuns und Beweis?

2 Antworten

Man kann das auch mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a)
cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

sowie der Identität

sin^2(x) = 1-cos^2(x)

stur nachrechnen:

cos(3x) = cos(x + (x+x))
        = cos(x)cos(x+x)                    - sin(x)sin(x+x)
        = cos(x)[cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)] - sin(x)[sin(x)cos(x)+sin(x)cos(x)]
        = cos(x)[cos^2(x)-sin^2(x)]         - sin(x)[2sin(x)cos(x)]
        = cos^3(x)       - cos(x)sin^2(x)   - 2sin^2(x)cos(x)
        = cos^3(x)       - 3cos(x)sin^2(x)        
        = cos^3(x)       - 3cos(x)[1-cos^2(x)]
        = cos^3(x)       - 3cos(x)  + 3cos^2(x)
        = 4cos^3(x) - 3cos(x)

Also

cos^3(x) = 1/4 cos(3x) + 3/4 cos(x)

Das ist ziemlich einfach, verwende dazu die eulersche Identität:


e^(ix) = cos(x) + isin(x)

Daraus folgt dann sofort:

cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2

Somit folgt dann:

cos³(x) = ((e^(ix) + e^(-ix))/2)^3

Ausmultiplizieren liefert uns dann:

= (1/8)(e^(i(3x)) + e^(-i(3x))) + (3/8)(e^(ix) + e^(-ix))

Vergleichen wir hier wieder mit der Darstellung des Cosinus über die komplexen Exponentialfunktionen, so folgt:

cos(3x)  =  (e^(i(3x)) + e^(-i(3x)))/2

cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix))/2

Und damit:

= (1/4)
cos(3x) + (3/4)cos(x)

Insgesamt erhalten wir also die gewünschte Identität:

cos³(x) = (1/4)
cos(3x) + (3/4)*cos(x)

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