Mathe Aufgaben Oberstufe

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1 Antwort

a) Der Ursprung ist bei (0/0). Eine Normale steht in einem bestimmten Punkt senkrecht auf einer Funktion, also in einem Winkel von 90°. Die y-Achse ist ja vertikal, also muss die Funktion selbst da horizontal sein, damit die Achse die Normale ist (denn dann hat sie einen rechten Winkel). Also muss die Steigung der Funktion in diesem Punkt 0 sein, denn dann ist sie horizontal, also wie die x-Achse.

Die Funktion f muss also durch den Punkt (0/0) gehen, also muss gelten: f(0) = 0 und die Funktion muss in diesem Punkt waagerecht sein, also die Steigung 0 haben. Die Steigung wird durch die erste Ableitung in diesem Punkt ausgedrückt, deshalb f ' (0) = 0.

b) Wenn eine Tangente in irgendeinem Punkt parallel zu der Geraden y = 4 sein soll, dann muss sie dieselbe Steigung haben. Eine Geradengleichung ist y = m * x + b mit m = Steigung und b = y-Achsenabschnitt. In deiner Geraden kommt kein x vor, man könnte sie also auch als y = 0 * x + 4 schreiben. Die Steigung ist also 0. Das heißt, die Tangente in einem Punkt der Funktion f müsste auch die Steigung 0 haben, damit sie parallel ist. Es müsste also die erste Ableitung in diesem Punkt 0 sein, also müsste gelten: f ' (x) = 0, damit es erfüllt wäre. Es soll aber ja gerade in keinem Punkt so sein, also muss f ' (x) ungleich 0 für alle x der Definitionsmenge D sein.

c) In allen Punkten des Graphen von f ist die Normale parallel zur y-Achse heißt, dass der Graph in allen Punkten waagerecht verläuft, die Steigung also null ist, also f ' (x) = 0 für alle x aus D ist (siehe a). Wenn die Steigung überall 0 ist, darf es sich also nicht mit x ändern, sondern ist konstant. Also f(x) = c. Das ist auch die Stammfunktion für f ' (x) = 0. Das ist eine Gerade, die parallel zur x-Achse verläuft.

d) Der 1. Quadrant ist im kartesischen Koordinatensystem der oben rechts. Die Winkelhalbierende ist eine Gerade, die in dem Quadranten also von (0/0) im 45°-Winkel nach oben rechts geht. Das ist die Gerade g(x) = x. Kannst du dir ja mal aufmalen, wenn das nicht klar sein sollte. g(x) = x soll also die Tangente an f im Punkt (3/f(3)) sein. Also müssen sie in diesem Punkt dieselbe Steigung haben. Die Steigung von g ist 1 (siehe oben), also muss für die Funktion f gelten: f ' (3) = 1. Und außerdem muss der Punkt (3/f(3)) sowohl auf der Funktion f, als auch auf der Geraden g liegen, den müssen sie gemeinsam haben. Also muss gelten: g(3) = f(3). Und die Gleichung von g kennen wir ja, die ist nämlich g(x) = x, also ist g(3) = 3 und damit muss auch f(3) = 3 sein.

e) Berechnen wir erstmal die Urpsungsgerade durch P:

g(x) = m * x + b

Wir brauchen die Steigung und den y-Achsenabschnitt und kennen 2 Punkte, nämlich den Urpsrung (0/0) und den Punkt P(1/2). Also einfach einsetzen:

0 = m * 0 + b

Daraus folgt schonmal, dass b = 0

2 = m * 1 + b

Und weil b = 0:

2 = m

Also hat diese Ursprungsgerade die Form g(x) = 2x. Damit diese Gerade in diesem Punkt eine Tangente an f sein kann, muss sie natürlich den Punkt wieder mit f gemeinsam haben, also muss auch gelten: f(1) = 2, denn f soll ja auch durch P gehen. Außerdem ist die Steigung der Urpsungsgeraden 2, die Funktion f muss in diesem Punkt dieselbe Steigung haben, weil g eine Tangente sein soll, also muss auch gelten: f ' (1) = 2.

f) Das mit dem 1. Quadranten hatten wir ja schonmal. Die Winkelhalbierende ist immernoch g(x) = x. Und die soll im Punkt P(2/f(2)) Normale an f sein. An der Stelle x = 2 ist der Funktionswert von g: g(2) = 2. Die Funktion f muss also denselben Funktionswert haben, also f(2) = 2. Und außerdem muss für die Steigung von f gelten:

m(f) = -1/m(g)

damit sie senkrecht aufeinander stehen.

Die Steigung von f in diesem Punkt ist wieder die Ableitung in diesem Punkt, also f ' (2). Die Steigung m(g) der Winkelhalbierenden ist 1. Also:

f ' (2) = -1/1 = -1

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