Mathe Aufgaben Beweisen

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6 Antworten

2 und 3 sind teilerfremd, es gibt also ganze Zahlen a und b mit 2a + 3b = 1. Dies liefert
n = 2 * a * n + 3 * b * n für beliebige Zahlen n. Nun ist aber
n/6 = a * n / 3 + b * n / 2.
Wenn n also durch 3 und 2 teilbar ist, dann ist die Summe rechts eine ganze Zahl, also auch n/6.

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weil 2 mal 3 = 6

du kannst eine Zahl so lange in Therme zerlegen bis Brüche sprich Kommazahl entsteht

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Kommentar von newcomer
23.06.2011, 12:38

Bsp: 2 mal 3 mal 4 = 24

wenn du die Therme zerlegen willst versuchst du zunächst durch 2 zu teilen dann durch 3 dann durch 5 usw sprich alle Primzahlen

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n ist eine beliebige natürliche Zahl

Jede durch sechs teilbare Zahl lässt sich darstellen als

n mal 6 = n mal (2 mal 3) = n mal 2 mal 3 Das ist, wenn n eine natürliche Zahl ist, durch 2 und 3 teilbar! q.e.d

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Kommentar von PVUellenberg
23.06.2011, 12:59

Upps, ich sehe gerade, der Beweis sollte umgekehrt laufen. Also: n ist eine beliebige naürliche Zahl, jede sowohl durch zwei als auch durch drei teilbare Zahl lässt sich darstellen als n mal 2 mal 3, weil es Primfaktoren sind.

n mal 2 mal 3 = n mal 6, also durch 6 teilbar :-) wieder q.e.d.

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6= 2 mal 3

2 und 3 haben sonst keine anderen Primfaktoren gemeinsam, denn beide sind Primzahlen. Sie sind unabhängig bezüglich der Teilung zueinander.

Fertig. Ich gehe nun mal davon aus, dass ihr schon gezeigt habt, dass eine Zahl dann durch eine andere teilbar ist, wenn alle Primfaktoren des Divisors auch im Dividenten vorkommen.

Beispiel:

255: 15

255= 51 mal 5 = 3 mal 17 mal 5

15= 3 mal 5

in beiden kommen die 3 und die 5 als Faktor vor, 15 teilt also 255

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Falls ihr den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung schon hattet, ist es einfach. Machen wir es mal ohne diesen Satz:

Es sei n eine natürliche Zahl, die durch 2 und durch 3 teilbar ist. Dann gibt es zwei natürliche Zahlen a und b, sodass n=2a und n=3b.

Daher ist a = n/2 = (3b)/2. Nun ist a ja eine ganze Zahl, also muss (3b)/2 durch 2 kürzbar sein. Die 3 ist aber nicht durch 2 teilbar, daher muss b durch 2 teilbar sein. Es gibt also eine ganze Zahl c, sodass b=2c. Das setzen wir jetzt in n=3b ein:

n = 3b = 3(2c) = 6c

n ist das 6-fache einer natürlichen Zahl, also durch 6 teilbar.

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Weil die kleinste Zahl, die durch 2 und 3 teilbar ist, müssen alle Zahlen auf die das zutrifft, gerade Zahlen sein, die durch 3 teilbar sind sein. Das trifft dann aber nur auf 6 und Vielfache von 6 zu.****

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Kommentar von romar1581
23.06.2011, 12:46

Nur gerade Zahlen sind durch 2 teilbar, das schränkt den verfügbaren Zahlenraum um die Hälfte ein. Übrig bleiben dann nur Vielfache von 6.

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