Mathe Aufgaben Kurvendiskussion 4 Fragen?

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5 Antworten

a)

Nein dies gilt nicht zwangsweise, betrachte Beispielsweise die Funktion f mit:

f(x) = x   mit  x  aus [-1, 1]  Teilmenge aus IR

So folgen die Extrema auf diesem Intervall zu:

Minimum:  f(-1) = -1

Maximum: f(1) = 1 

Die Extrema nimmt die Funktion also aufgrund der Beschränktheit am Rande des Intervalls an. Dass zwischen den beiden Extrema kein Wendepunkt liegt folgt aus der strengen Monotonie von f auf dem gesamten Intervall, ja auf ganz IR.

Dieses Problem haben wir aber nicht nur wenn es um Funktionen auf abgeschlossene Teilintervallen von IR geht. Nicht stetige Funktion können bspw. zu ähnlichem Verhalten führen, ein Beispiel wäre die Funktion:

f(x) = 1/x² - x^3 + x^4

hierzu ein Link zu Wolfram-Alpha wo die Funktion geplottet wird:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Extrema(+1%2Fx%C2%B2+-+x%5E3+%2B+x%5E4)

Ebenfalls wird ersichtlich, dass die Funktion 2 Extrema besitzt und eine Polstelle bei 0. Jedoch besitzt sie keinen Wendepunkt auf IR\{0} und sogar durchgehend positive Krümmung auf IR\{0}.


Befassen wir uns jedoch mit hinreichend oft stetig differenzierbaren Funktionen und wollen diese Aussage speziell für lokale, innere Extrema treffen, so ist die Aussage zu bejahen. Dies wird auch schnell klar:

Ein lokales Extremum einer stetig differenzierbaren Funktion an der Stelle x(0) folgt, falls gilt:

Maximum:   f(x(0)) > f(x)  für x aus Umgebung von x(0)

Minimum:   f(x(0)) < f(x)  für x aus Umgebung von x(0)

Mit ein wenig Differentialrechnung kann man ein Extremum wie folgt Charakterisieren:

f´(x(0)) = 0

f´´(x(0)) ungleich 0

Das die Ableitung an der Extremstelle 0 ist und die 2-te Ableitung ungleich 0 sagt uns, dass die erste Ableitung von f(x) an der Stelle einen Vorzeichenwechsel durchführt. Bei zwei aufeinanderfolgenden Extrema folgern wir damit einen zweifachen Vorzeichenwechsel. Das bedeutet jedoch, dass zwischen den beiden Extremstellen sich (unter der Berücksichtigung der Stetigkeit) die Steigung von f´(x) geändert hat, von abnehmend zu zunehmend oder umgekehrt. Wir folgern also, dass sich somit zwischen den beiden Extremstellen das Vorzeichen der 2. Ableitung geändert hat, wobei dies zusammen mit f´(x) zwischen den beiden Extremstellen ungleich 0, einen Wendepunkt charakterisiert.

Die Aussage ist also für ein hinreichend oft stetig differenzierbare Funktion im Bezug auf lokale Extrema durchaus wahr.


b)

Dies ist nicht wahr, betrachte beispielsweise:

f: IR --> IR  mit  f(x) = sin(x)

Diese Funktion ist glatt auf IR, also beliebig oft stetig differenzierbar auf ganz IR. Die zweite Ableitung folgt dann zu:

f´´(x) = -sin(x)

diese ist gleich 0 für alle x der Form:   x = pi*k    mit k aus den ganzen Zahlen

Die dritte Ableitung folgt zu:

f´´´(x) = -cos(x)

Und überprüfen der potentiellen Wendestellen liefert:

f´´´(pi*k) = -cos(pi*k) = -(-1)^k = (-1)^(k+1)  ungleich 0 für alle k aus den ganzen Zahlen.

Die Funktion besitzt somit unendlich viele Wendepunkte !!!


Beschränken wir jedoch unsere Aussage nur auf Polynome, so folgt:

Für 2 Nullstellen muss f´´(x) vom Grad 2 sein. Da der Grad eines Polynoms beim Ableiten immer um 1 verringert wurde folgt also, dass der Grad des Ausgangspolynoms um 2 Größer wahr als der benötigte Grad von 2 für f´´(x).

---> f(x) muss als Polynom mindestens vom Grad 4 sein


c)

Dies ist nicht wahr (zumindest im reellen):

Bsp:

f(x) = x*(x² +1) 

ist Polynom vom Grad 3, besitzt jedoch nur 1 reelle Nullstelle bei x = 0   (im Komplexen würden noch die beiden Nullstellen x = +/- i  folgen)


d)

Achsensymmetrie liegt vor genau dann wenn gilt:

f(x) = f(-x)

Die Funktion lautet in unserem Falle:

f(x) = -0,25x^4 + 2,25^2 + x-3

Einsetzen von -x liefert:

f(-x) = -0,25x^4 + 2,25^2 - x - 3

Sie ist somit nicht Achsensymmetrisch zur Y-Achse.

Generell lässt sich Achsensymmetrie zur Y-Achse nur bei Polynomen der Form:

f(x) = a*x^(2n) + b*x(2(n-1)) + ... + y*x² + z*x^0   wobei   x^0 = 1

feststellen. Diese Polynome enthalten nur gewichtete Monome von einem geraden Grad (die 0 mit eingeschlossen)

Thor1889 17.01.2017, 23:44

Holla die Waldfee, da hatte wer Langeweile :D

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HCS41 17.01.2017, 23:50

Ich gehe bei den Aufgabenstellungen von ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) des Grades n aus, die für alle x Element R definiert sind. Dies wird auch der Stand des Schülers, der hier frägt sein.

Dann sind die Antworten a) b) und c) nicht zielführend.

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a) Bei Extrempunkten ist die erste Ableitung gleich 0, die zweite ungleich 0, bei Minima ist die 2. Ableitung größer 0, bei Maxima kleiner 0. Daher muss es zwischen zwei Extrema (die nur im Wechsel Minimum-Maximum oder umgekehrt auftreten können) einen Punkt mit f"(x)=0 geben, also einen Wendepunkt. Die Aussage ist also wahr.

b) Zwei Wendepunkte bedeutet, dass die zweite Ableitung mindestens quadratisch sein muss (f"(x)=ax²+bx+c), daraus folgt aber nach zweifachem Integrieren, dass die Funktion mindestens Grad 4 haben muss. Die Aussage ist wahr.

c) Gegenbeispiel: f(x)=x³ hat nur eine Nullstelle. Die Aussage ist falsch.

d) Achsensymmetrisch zur y-Achse bedeutet, dass h(-x)=h(x)

h(-x)=-0,25 (-x)^4+2,25(-x)²+(-x)-3=-0,25x^4+2,25x²-x-3 ist ungleich

h(x)=0,25x^4+2,25x²+x-3, die Aussage ist falsch.

Die Antworten geb ich dir nicht. Mathematik besteht aus Eigenverständnis- und Erarbeitung, und das schaffst du.

a) Was gilt bei Extrema der Funktion dann für die Ableitungen? Was gilt dann zwangsweise für die Extrema der Ableitungsfunktion zwischen den x-Werten der Extrema der Funktion?

b) Gegenfrage: Kennst du eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit 2 Wendepunkten? 

c) Stimmt das Wort genau?

d) Gilt die Bedingung h(x)=h(-x) für die Funktion h(x)?

a) ja,

Wir nehmen 2 Extrema an (Hoch- und Tiefpunkt einer Funktion 3. Grades). Hoch und Tief sagt eigentlich schon allein aus, dass dazwischen ein Wendepunkt liegen muss. Das kannst du jedoch auch über die Ableitungen selber für dich herausfinden ;)

b) Ja,

Wie bei a) ableiten und untersuchen

f(x) = ax^4 + bx³ + cx² + d

c) Jein,

Eine Funktion 3. Grades kann auch eine dreifache Nullstelle haben, das nennt sich dann Sattelpunkt. Bspw. bei

f(x) = x³ = 0 => x_1 = x_2 = x_3 = 0

oder eine Nullstelle und eine doppelte NS (Berührpunkt)

d) Nein,

Achsensymmetrisch sind alle "geraden" Funktionen, d.h. im Term dürfen nur gerade Exponenten auftauchen (also hoch: 2, 4, 6 usw...)

x^1 ist allerdings ungerade und somit ist die Funktion nicht mehr achsensymmetrisch.

*Alle Angaben ohne Gewähr

a) Ja, weil die Kurve dazu ihr Krümmungsverhalten ändern muss (zweite Abbleitung = Krümmung    muss Vorzeichen ändern)

b) Wendepunkt Bedingungen f''(x)=0  und f'''(x) ungleich 0.

f''(x) hat genau dann zwei Nullstellen n1 und n2   wenn f''(x) = a*(x-n1)*(x-n2), d.h. f'' muss eine Funktion zweiten Grades sein, also f(x) vom Grad 4.

Es ist jetzt noch möglich, dass eine doppelte Nullstelle vorliegt, dann ist f'' Grad 3, also f(x) vom Grad 5, also mehr als Grad 4 (mindestens stimmt also auch).

c)  Gegenbeispiel:   f(x) = (x -1)³    hat eine einzige dreifache Nullstelle x=1

d) Achsensymmetrisch zur y-Achse: Du musst zeigen/widerlegen dass h(x)=h(-x) ist. Dies ist der Fall, wenn nur gerade Exponenten bei vorkommen und eine reine Zahl, wegen dem Glied x ist dies nicht der Fall.

Vermute es war ein Tippfehler und es fehlte das x bei x²

h(x)= -0,25x^4 + 2,25x² + x-3

h(1) = 0

h(-1)= -2

h(1) ungleich h(-1), also nicht sym. zur y-Achse

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