Mathe Aufgabe schnittpunkt zweier Funktionen berechnen?

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3 Antworten

Die Theorie dahinter ist:
wenn sich zwei Funktionen schneiden, haben sie gemeinsame Punkte. Diese haben y-Werte, die gleich sein müssen. Von daher rührt der Ansatz
f(x) = g(x)
Denn beide sind y-Werte.
Wenn die linken Seiten gleich sind, dann auch die rechten Seiten.

Also:      x³ - 3x     = -4x + 2    |  +4x-2
             x³ + x - 2 = 0      

Das ist das Standardformat zur Berechnung solcher Gleichungen.
Anders als bei Nullstellen muss man aber auch die y-Werte aus einer der Kurven berechnen.

Die Hoffnung ist, dass es eine ganzzahlige Lösung gibt.
Als Teiler von -2 sind möglich:  {1; -1; 2; -2}   wenn überhaupt.

Die 1 passt schon, denn für x = 1 wird diese Gleichung 0.
In eine der Funktionen eingesetzt, ergibt sich  y = -2

Wenn die Aufgabe tatsächlich darin besteht, einen Schnittpunkt auszurechnen, bist du fertig. Der Schnittpunkt ist

S (1|-2)

Sonst hätte wohl in der Aufgabe stehen müssen:
Berechne die Schnittpunkte ...

Dann allerdings müsste man noch weiter rechnen.
Du siehst, wie wichtig es ist, den Unterschied zwischen Singular und Plural zu kennen.

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Es gibt aber auch tatsächlich keine weiteren reellen Schnittpunkte.

 In der Aufgabe steht tatsächlich, dass ich beweisen soll das S (1 | -2) der einzige Schnittpunkt ist :/


Wieso kann man denn nicht die Substitution anwenden?

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@bitteh

 Können Sie mir mit dieser Frage weiterhelfen? (Transformation von Graphen/Funktionen) :) 

f(x)= x^2 +3x wird an der x Achse gespiegelt und um 2 nach oben y-Richtung verschoben also -f(x)+2


Wie sieht die Funktion aus? 

Ich habe zwei Theorien, welche ist denn jetzt richtig?

Entweder -(x^2 +3x)+2 oder kommt die 2 in die Klammer also -(x^2 +3x+2)


Ich bin da ein Wenig verwirrt, weil die 2 ja ursprünglich nicht zur Funktion gehört und erst durch die Transformation dazu "gehört"

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@bitteh

Im Grunde startest du ja so etwas wie eine Substitution, weil du f(x) in -f(x) verwandelst. Du machst dann aber keine Resubstitution, weil du ja gerade die gespiegelte Funktion haben willst.

Die Antwort auf die 2. Frage steht als Kommentar unter einer anderen Antwort.

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@Volens

Die Konstante in die Klammer zu packen ist nicht zielfördernd. Das Minus vor der Klammer würde die Parabel nach unten ziehen.

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f(x)=x³-3x

g(x)=-4x+2


f(x)=g(x)

x³-3x=-4x+2 | +4x

x³+x=2 | -2

x³+x-2=0


Das kannst du erst einmal nicht weiter vereinfachen ; durch Raten erhältst du den ersten Wert x=1. Mithilfe der Polynomdivision kannst du nun das Restpolynom abspalten und schauen, ob es mehr Lösungen gibt.

Das führt aber nur zu imaginären Lösungen, die einzige Lösung ergibt sich also durch Raten - die Aufgabe halte ich deshalb für suboptimal gewählt.

Echt? Mit der Substitution würde es auch nicht gehen, oder?

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@MeRoXas

 Eine Frage zu einer anderen Aufgabe (Transformation von Graphen/Funktionen) :) 

f(x)= x^2 +3x  wird an der x Achse gespiegelt und um 2 nach oben y-Richtung verschoben also -f(x) 

Wie sieht die Figur aus?  So 

 -(x^2 +3x)+2 oder kommt die 2 in die Klammer also -(x^2 +3x+2) 

Ich bin da ein Wenig verwirrt, weil die 2 ja ursprünglich nicht zur Funktion gehört und erst durch die Transformation dazu "gehört"

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@bitteh

Das machst du in 2 Schritten:

  1. Du spiegelst an der x-Achse. D.h. y -> -y
    Die x-Werte bleiben.
    f₁(x) = -f(x)
    f₁(x) = -(x² + 3x)
    f₁(x) = -x² - 3x
  2. Jetzt noch um 2 nach oben schieben
    f₂(x) = -x² - 3x + 2

Das ist eine nach unten offene quadratische Parabel
um 2 nach oben geschoben.

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  Zunächst erzähle ich dir, was dir deine Lehrer systematisch verschweigen: die ===> cartesische Vorzeichenregel ( CV )  Auch ich konnte als Student in der Diplomprüfung in (Polynom)algebra eine " Eins Plus " schaffen, ohne je von dieser CV vernommen zu haben ...

   Wir suchen die Wurzeln des Polynoms

   h  (  x  )  :=  x  ³  +  x  -  2    (  1  )

   gleich für x < 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall; hier wie soll denn die Summe von drei negativen Termen Null werdden ( !!! ??? ) Und für positive x kriegst du eine und NUR eine Wurzel vorher gesagt; demnach reicht es völlig aus, diese zu bestimmen ( s.u. ) Irgendwas von " Polynomdivision " u.Ä. brauchst du gar nicht wissen; du weißt doch: Genialität äußert sich darin, dass du dir so wenig Arbeit machst wie möglich.

   Jeder darf  dir bei deinen Hausaufgaben helfen; nicht nur deine Eltern. Sondern auch das Internet. Zumal du eine Verständnisfrage hattst, die meistens noch nicht mal Schüler können, die wesentlich älter sind als du. Du musst nur zitieren, weil dir dein Lehrer sowieso nicht glaubt, dass du der Erfinder der CV bist. Wenn du aber bei Wiki nachschlägst und dich echt mit dem Tema beschäftigst, wird dein Lehrer staunen. Das gilt als selbstständige Mitarbeit; du kannst das im Heft in deiner Hausaufgabe ruhig protokollieren.

   Es folgt noch ein Teil 2; ich schick jetzt erst mal ab, weil dieser Editor so nervig instabil ist.

  Schau doch mal, was Pappi alles weiß:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

  Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

   Naa; hast du dich von deinem Schock erholt?

   Als ich erstmals davon erfuhr ( 2011 ) fiel es mir wie Schuppen von den Augen. Nachdem wir also oben schon mal das Vorzeichen geklärt hatten, kommt zusätzlich noch die Mitteilung: Sinn voll zu raten sind nur noch x0 = 1 und x0 = 2 ; Ende der Fahnenstange. Mehr ist also zu dieser famosen Aufgabe nicht zu sagen.

   Und jetzt das Plädoyer der Anklage. Junge du lebst in aufregenden Zeiten. Wikis Behauptung nämlich, der olle Opa Gauß habe den  SRN auch nur gekannt geschweige entdeckt, stellt die GRÖSSTE FÄLSCHUNG DER MATHEMATIKGESCHICHTE dar. Wie das?

  1) Gauß ist doch Kult; wieso hat euer Lehrer noch nie vom SRN vernommen?

  2) Die einzigen ernst zu nehmenden Algebrabücher sind Artin und v.d. Waerden ( 1930 ) Euer Lehrer kennt die natürlich; der soll ruhig mal nachforschen, ob da was vom SRN drin steht.

  3) Kannst du dich noch erinnern? Wie geht der " kanonische " Beweis, dass Wurzel ( 2 ) irrational? ( findest du überall im Internet; oder du fragst zur Not nochmal den Lehrer. )

   Halt Stopp; und jetzt gehst du her und leitest die selbe Aussage nochmal her aus dem SRN . Im japanischen ===> Zen Buddhismus bezeichnet man den Augenblick der Erleuchtung als ===> Satori .

   Und das soll ich glauben?? In den ganzen 200 Jahren seit Gauß sei niemand vor mir auf diese konzeptionell einfachere Idee verfallen?

   4) Und jetzt muss ich leider ein bissele fachsimpeln. Absolut kein Internetportal rafft, dass die Aussage des SRN doch nur Sinn hat für ===> primitive Polynome ( ganzzahlig gekürzt ; warum !!! ??? ) An sich bin ich voll des Lobes über Wikis matematisches Niveau - hoch professionell. Aber dieser SRN Artikel muss von einem Tertianer stammen, der unbedingt noch von Mathe 3 auf die 2 will ...

   Von " gebrochenen Koeffizienten " , " Hauptnenner " und ähnlichem Unfug ist da die Rede; ein Profi hätte formuliert

   " Gegeben sei ein primitives Polynom. "

   Rein von der Quellenlage her schätze ich, dass der SRN 1990 entdeckt wurde von einem hoch genialen Internetbetreiber. ===> Diophantische Gleichungen sind nach wie vor eine Goldgrube; da ist man weit entfernt von so 08-15 Algoritmen, wie man sie euch in der Schule andrillt.

   Aber Genies bringen oft auch den Nachteil mit sich, dass sie nie systematisches sauberes handwerkliches Arbeiten gelernt haben. Und so habe ich  denn die Ejre, die Algebra mit einer neuen Definition zu beglücken ( Wenn du drei Silvester Mensa hast, weißt du, wie man das richtig aufzieht. )

   DEFINITION  ( normiertes Polynom )

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   Ein Polynom heiße normiert, wenn seine primitive Form überein stimmt mit seiner Normalform.

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   Ist bei dir übrigens der Fall.

   Etwas komplizierter ausgedrückt: Dass ein Polynom normiert ist, erkennst du daran, dass seine Normalform nur ganzzahlige Koeffizienten enthält.

   KOROLLAR zum SRN ( Ganzzahlsatz )

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   Ein normiertes Polynom kann wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben.

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