Mathe Aufgabe kann mir jemand den Lösungsweg erklären bitte?

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5 Antworten

Hallo,

wenn Du den Kreismittelpunkt in den Ursprung des Koordinatensystems, also auf (0|0) legst, bekommst Du für den Kreis folgende Formel:

x²+y²=42² (Einheiten in cm)

Umgestellt nach y:

y=√(42²-x²)

Der Querschnitt des ausgesägten Balkens soll quadratisch sein.

Wenn Du nur den Viertelkreis im ersten Quadranten betrachtest, muß für ein Viertel des gesuchten Quadrates gelten:

x²+x²=42², also 2x²=1764

x²=882

x=√882=29,7 cm.

Das ist - da wir nur ein Viertel des Querschnitts berechnet haben, die Hälfte der gesuchten Kantenlänge, die somit 59,4 cm lang ist.

Zeichne es Dir auf ud denke an den Staz des Pythagoras.

x und y sind die Katheten, der Radius ist die Hypotenuse.

Der quadratische Querschnitt bedeutet übrigens das Maximum an rechteckiger Fläche, die Du aus dem Kreis heraussägen kannst. Du wärst auch ohne die Vorgabe aus der Aufgabe über eine Extremwertberechnung auf diesen Wert gekommen.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von nax11
05.02.2017, 20:34

Also wirklich - das ist natürlich nicht der Fall!

Die Kantenlänge des quadratischen Balkens kann niemals größer als der Durchmesser des (runden) Balkens sein!

Für die Berechnung nimmt man natürlich den Radius, wie Willy 1729 gezeigt hat. Die Rechnung ist völlig richtig, aber natürlich wird nichts mehr verdoppelt, womit 29.7 cm korrekt sind!

Noch eine Ungenauigkeit: der Radius sind beide Katheten und die Kantenlänge ist die Hypothenuse!

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Zeichne ein Quadrat und darum einen Kreis, sodass die Ecken des Quadrats auf den Kreis liegen. Der Mittelpunkt des Kreises liegt dann genau in der Mitte, also im Symmetriezentrum, des Quadrates. Die Diagonale des Quadrats bildet dann einen Durchmesser des Kreises.

Diese Diagonale ist 42 cm. Jetzt mußt Du nach Pythagoras die Seiten des Quadrats berechnen. Dabei ist die Diagonale, die Hypotenuse und die Seiten des Quadrats sind die Kateten. Daraus kannst Du die Fläche berechnen.

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Hi den Satz von phytagoras anwenden und den Radius als k1 und k2 einsetzen, damit die HP bestimmen, ist dann die Breite des Balken:

H^2=k1^2+k2^2

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  x  y  =  max  (  1a  )

   x  ²  +  y  ²  =  4  R  ²  =  const    (  1b  )

   Folgender Trick; führe doch einfach Polarkoordinaten ein;  dann ist ( 1b ) trivial befriedigt.

    x  =:  2  R  cos  (  ß  )  ;  y  =:  2  R  sin  (  ß  )    (  2  )

   x  y  =  4  R  ²  sin  (  ß  )  cos  (  ß  )  =   (  3a  )

    =  2  R  ²  sin  (  2  ß  )    (  3b  )

   Und zwar folgt ( 3b ) aus einem Additionsteorem. Wann wird Sinus maximal? ( Ihr sagt ja " höchpünktig " ; was heißt Revolver? Meuchelpuff; und Sechszylinder? Sechstopf-Zerknalltreibling. )

   Also für 2 ß = 90 ° C  ===>  ß = 45 ° ; der Querschnitt ist quadratisch.

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d^2 = a^2+a^2 = 2*a^2   =>   a^2 = d^2 / 2 = A

Gruß, H.

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