Mathe Aufgabe (Ja, Hausaufgaben ...)

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5 Antworten

Stelle eine Funktion V(x) für das Volumen der Schachtel auf: V(x)=(16-2x) * (10-2x) * x und finde deren Maximum. Eine Skizze kann helfen.

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Kommentar von pikachulovesbvb
13.10.2011, 21:31

Wieso kommst du auf (16-2x) * (10-2x) * x, bzw wie kommst du darauf.

Gruß

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Nun, um das Gitternetz für eine solche Schachtel zu erhalten, musst du an allen vier Ecken des Pappstückes gleich große Quadrate abschneiden. Je größer die abgeschnittenen Quadrate sind, desto höher wird später die Schachtel - aber desto kleiner wird auch ihre Grundfläche.

Mach dir mal eine Skizze, dann siehst du es besser.

Die Frage ist nun: Wie groß muss die Kantenlänge der herausgeschnittenen Quadrate sein, damit das Volumen der späteren Schachtel möglichst groß bzw. maximal wird?

Das Volumen V der Schachtel ergibt sich aus ihrer Länge, ihrer Breite undihrer Höhe, also:

V = L * B * H

Wenn du nun an den Ecken deiner rechteckigen Grundfläche Quadrate der Kantenlänge a abschneidest, dann verkürzen sich sowohl die Länge als auch die Breite um 2 a (jeweils ein a links und rechts). Die spätere Höhe der Schachtel beträgt a.

Das Volumen der Schachtel hängt also von a ab und beträgt (L = 16, B = 10):

V ( a ) = ( 16 - 2 a ) * ( 10 - 2 a ) * a

= ( 160 - 32 a - 20 a + 4 a ² ) * a

= 4 a ³ - 52 a ² + 160 a

Dieses Volumen soll maximal werden - und nun hoffe ich, dass ihr schon Ableitungen behandelt habt ...?

Kandidaten für eine Extremstelle einer Funktion sind nämlich diejenigen Stellen, an denen die 1. Ableitung der Funktion den Wert Null annimmt.

Die 1. Ableitung von V ( a ) ist:

V ' ( a ) = 12 a ² - 104 a + 160

V ' ( a ) = 0

<=> 12 a ² - 104 a + 160 = 0

<=> a ² - ( 26 / 3 ) a + ( 40 / 3 ) = 0

<=> a ² - ( 26 / 3 ) a = ( - 40 / 3 )

<=> a ² - 26 / 3 + ( 13 / 3 ) ² = ( 13 / 3 ) ² - ( 40 / 3 )

<=> ( a - ( 13 / 3 ) ) ² = 49 / 9

<=> a1,2 - ( 13 / 3 ) = +/- ( 7 / 3 )

<=> a1,2 = + / - ( 7 / 3 ) + ( 13 / 3 )

<=>a1 = 2 , a2 = 20 / 3 = 6 2/3

a2 entfällt, denn die Breite der Schachte ist nur 10 cm, da kann man nicht 2 mal 6 2/3 cm abschneiden. Bleibt also die Lösung a = 2

An dieser Stelle hat die Funktion V ( a ) genau dann ein Maximum, wenn die 2. Ableitung an dieser Stelle kleiner als Null ist. Die zweite Ableitung V ' ' ( a ) ist:

V ' ' ( a ) = 24 a - 104

Mit a = 2 gilt:

V ' ' ( 2 ) = 48 - 104 < 0

Also hat V ( a ) an der Stelle a = 2 tatsächlich ein Maximum.

.

Du musst also an den Ecken deiner Pappe Quadrate der Kantenlänge a = 2 cm abschnieden, dann wird das Volumen der so entstehenden Schachtel maximal.

Das maximale Volumen beträgt:

V ( 2 ) = 4 * 2 ³ - 52 * 2 ² + 160 * 2 = 560 cm ³

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Kommentar von kani98
14.10.2011, 16:08

übertreib o.O

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btw möchte ich darauf hinweisen, dass dieses schöne Rechnen mit Differentialen, usw. bei dieser Aufgabe evtl zur falschen Lösung führt, denn dass bei Knicken sich Teile überlappen, die dann an anderer Stelle (z.Bsp.) durch Schneiden wieder angefügt werden können, wird nicht berücksichtigt....

trotzdem sollte wahrscheinlich das Aufstellen einer Funktion Sinn der Aufgabe gewesen sein.

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sag ich dir nicht du dummer junge stell dich in die ecke und schäm dich du gehörst in die sonderschule ich weiß alles ich scheitere nur an echt schweren aufgaben wie 8+7

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Kommentar von pikachulovesbvb
13.10.2011, 21:29

Achja, ich danke für diese Niveauvolle und sehr informative Antwort.

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16 plus 10 = 26 dann musst du das in 5 teilen

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Kommentar von pikachulovesbvb
13.10.2011, 21:30

und was ist mit dem Boden?

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