Mathe Aufgabe, Bestimmungen

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3 Antworten

f(9) = 0; f ' (9) = 0; f(-3) = 0; f(0) = 81

Dir fehlt die zweite Bedingung, "berühren" heißt gleicher Funktionswert und gleiche Steigung.

LamboVongolaX 06.03.2014, 18:20

danke ich probiere es mal :)

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Chroz192 07.03.2014, 12:20
@LamboVongolaX

Also ich rechne es dir mal vor:

gegeben: f(x) = ax^3 + bx^2 +cx +d

Ableitung (brauchen wir gleich) f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c

f(0) = 81 <=> d = 81

f(9) = 0 <=> 729a + 81b + 9c = -81

f'(9) = 0 <=> 243a + 18b + c = 0

f(-3) = 0 <=> -27a + 9b -3c = -81

Matrix (wusste nicht, wie ich es gut darstellen soll, hoffe das kann man erkennen):

(729 81 9 -81)

(243 18 1 0)

(-27 9 -3 -81)

Matrix mit GTR lösen, es folgt:

a = 1/3; b = -5; c = 9

D.h. die Funktion lautet:

f(x) = (1/3)x^3 - 5x^2 + 9x + 81

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Du hast eine doppelte Nullstelle. Probiere es mit der Linearfaktordarstellung:

f(x) = a (x-9)² (x+3)

Um das a zu bestimmen musst du nur noch den Punkt (0|81) einsetzen.

LamboVongolaX 06.03.2014, 18:44

Dürfen keine Linearfaktordarstellung benutzt, wir müssen das per Bestimmungen machen ^^

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Suboptimierer 06.03.2014, 18:52
@LamboVongolaX

"Bestimmungen" ist zwar ein schwammiger Begriff, aber wenn du sagst, dass du das mit LFZ nicht machen darfst, dann muss ich dir das natürlich glauben.

Schade. Das hätte dir Ableitungen usw. erspart.

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Die angegebene Lösungsfunktion berührt die x -Achse bei x = 9, schneidet sie aber bei x = -3. Es lohnt sich, diesbezüglich den Text recht genau zu lesen.

Denn eine Berührung der x-Achse ist eine mehrfache Nullstelle (bei einer Funktion dritten Grades immer eine doppelte). Deswegen kann die gesuchte Funktion nur die Form haben:

y = a (x -9)² (x +3),

und du bekommst a heraus mit

x = 0 ⇒ 81 = y = a * 9² * 3 ⇒ a = 1/3;

fertig. - Du rechnest leicht nach, dass

y = 1/3 (x -9)² (x +3) = x³ / 3 − 5x² + 9x + 81


Beweis: Wenn f in der Nullstelle x0 die x-Achse berührt, ist x ein Extremum. Also ist auch f'(x0) = 0. - Weiter lässt sich mit Polynomdivision schreiben ( = "Nullstelle abdividieren"):

f(x) = (x - x0) * g(x) ⇒ (Produktregel)

f'(x) = g(x) + (x - x0) * g'(x);

0 = f'(x0) = g(x0) + (x0 - x0) * g'(x0) = g(x0);

da x0 auch Nullstelle von g ist, ist x0 mehrfache Nullstelle von f, w.z.b.w.

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