Mathe Aufgabe Bakterien?

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8 Antworten

Hallo,

in einer Stunde haben sich die Bakterien von 8000 auf 10500 vermehrt, sind also um das 10500/8000=21/16=1,3125 gewachsen.

In zwei Stunden vermehren sie sich auf 8000*1,3125², in drei Stunden auf 1,3125³ usw.

Wenn Du nun wissen willst, wann sich ihre Anzahl verdoppelt hast, stellst Du folgende Gleichung auf:

8000*1,3125^t=16000, also

1,3125^t=16000/8000=2

Wenn Du diese Gleichung nach t auflösen möchtest, bildest Du auf beiden Seiten den Logarithmus:

ln(1,3125^t)=ln(2)

Nach den Logarithmengesetzen kannst Du nun den Exponenten t aus dem Logarithmus herausziehen und als Faktor vor den Logarithmus stellen:

t*ln(1,3125)=ln(2)

Nun kannst Du nach t auflösen:

t=ln(2)/ln(1,3125)=2,548956386 Stunden; das sind 2 Stunden, 32 Minuten und 56,24 Sekunden.

Nach dieser Zeit haben die Bakterien ihre Anzahl verdoppelt.

Da 7 Uhr zwei Stunden vor 9 Uhr, dem Nullpunkt unserer Gleichung liegt, kannst Du nun folgende Gleichung aufstellen:

8000*1,3125^(-2)=x=4643,99, also rund 4644 Bakterien.

Da sich die Bakterien pro Stunde um einen festen Faktor vermehren, mußt Du die Ausgangszahl mit dem festen Faktor hoch die Anzahl der Stunden multiplizieren, wenn Du in der Zeit vorwärts rechnest.

Rechnest Du rückwärts, mußt Du anstatt zu multiplizieren dividieren.

8000*1,3125^(-2) ist eine andere Schreibweise für 8000/1,3125².

Herzliche Grüße,

Willy

Formel für "exponentielles Wachstum" N(x)= No *e^(b*x)

"Exponentielle Abnahme" N(x)= No * e^(- b *x)

No ist die Anfangszahl der Bakterien.

x ist die Zeit in Stunden

Es ergeben sich 2 Gleichungen

1. N1=No * e^(b * x1) mit x1=0 ergibt N1= No * 1

2. N2= No * e^(b * x2) mit x2= 1 Stunde

N1/N2= No * 1/No * e^(b *1)=1/e^(b *1

e^(b*1)= 1 * N2/N1 logarithmiert

b * 1= ln(N2/N1) ergibt b=ln(10500/8000)=0,2719337

Gleichung hier ist somit N(x)= No * e^(0,27.. *x)

Die Verdoppelung erfolgt

16000= 8000 * e^(0,27.*x) aufgelöst nach x

16000/8000= e^(0,27. * x ) logarithmiert

x= ln(16000/8000)/0,27..= ln(2)/0,2719337=2,548.. Stunden

Bakterien um 7 Uhr ergibt x= 2 Stunden

8000 = No * e^(0,27..*2) ergibt No=8000/ (e^(0,2719337 *2)=4644 Bakterien

Baktrien vermehren sich nicht linear, sondern exponentiell. Jedenfalls solange sie Platz und Nahrung dafür haben. Wir müssen also mit Faktoren, Potenzen und Logarithmen rechnen.

Die Anzahl an Bakterien wuchs von 9 bis 10 Uhr von 8000 auf 10500. Das heiß, sie wuchs in 1 h um den Faktor F1 = 10500/8000 = 21/16 ~ 1,3125.

a)

In der Verdopplungszeit T2 wächst die Zahl der Bakterien um den Faktor 2.

T2 erhalten wir aus dem beobachteten Wert F1 so:

F1 ^ (T2/h) = 2

Jetzt beide Seiten logartithmieren:

log(F1) * T2/h = log(2)

T2/h = log(2) / log(F1) = log(2) / log(1,3125) = 0,6931 / 0,2719 = 2,5490

Das ist ca. 2 h 33 min.

b)

Von 7 bis 9 Uhr waren es 2 Stunden. In dieser Zeit vermehrten sich die Bakterien zwei mal um den Faktor für 1 Stunde, also um das Quadrat dieses Faktors, d. h. um den Faktor:

F1^2 = 1,3125^2 = 1,7227

Franz1957 15.08.2016, 19:38

Da mit naiven Wachstumsberechnungen schon viel Unfug getrieben wurde, sollte jedem klar sein, daß die Realität anders aussieht.

Natürlich kann exponentielles Wachstum in der Realität nicht beliebig lange funktionieren, weder bei Bakterien noch bei sonst irgendetwas. Die exponentielle Wachstumsfunktion ist nur eine Näherung, die dabei hilft, die Anfangsphase des Wachstumsvorganges mit möglichst einfachen Formeln zu beschreiben.

Sobald die Ressourcen, die die Bakterien brauchen, knapp werden, vermehren sie sich langsamer. Das Wachstum geht dann in eine Sättigungsphase über. Die wirkliche Wachstumskurve der Bakterienkultur ist eine logistische Funktion.

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische\_Funktion

1

f(t) = k * a ^ t

I.) 8000 = k * a ^ 9

II.) 10500 = k * a ^ 10

I.) 8000 / a ^ 9 = k

I.) in II.) einsetzen -->

II.) 10500 = (8000 / a ^ 9) * a ^ 10

II.) 10500 / 8000 = a ^ 10 / a ^ 9

II.) 10500 / 8000 = a

II.) a = 10500 / 8000

II.) in I.) einsetzen -->

I.) 8000 /  a ^ 9 = k

I.) 8000 / ((10500 / 8000) ^ 9) = k

I.) k = 8000 / ((10500 / 8000) ^ 9)

f(t) = 8000 / ((10500 / 8000) ^ 9) * (10500 / 8000) ^ t

Weil das aber unglaublich Sch** aussieht vereinfacht man das noch -->

f(t) = 692.1435535 * (1.3125 ^ t)

Damit kannst du jetzt ausrechnen wie viele es um 7 Uhr waren.

Die Verdopplungszeit kannst du du damit auch ausrechnen, indem du für f(t) die doppelte Menge einsetzt und nach t auflöst.

precursor 15.08.2016, 18:12

P.S -->

Bakterienwachstum ist exponentiell.

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Du, die Aufgabe geht genauso wie Teil b) von deiner vorherigen Frage. Warum nimmst du nicht zuerst die vorherige Aufgabe auseinander? Dann sollte diese hier sehr einfach für dich sein!

Marie2605xx 15.08.2016, 18:01

a) habe ich jetzt verstanden aber b nicht :(

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Marie2605xx 15.08.2016, 18:04

Muss man dann einfach für t minus 2 einsetzen?

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PhotonX 15.08.2016, 18:06
@Marie2605xx

Je nach deinem Ansatz. Wenn bei dir 9 Uhr dem Wert t=0 entspricht, dann wäre 7 Uhr tatsächlich t=-2.

1

9 - 7 = 2 Std.

2 • 2500 = 5000

8000 - 5000 = 3000

Um 7 Uhr gab es nur 3000 Bakterien

Wenn das Wachstumrate konstant ist, sind die Ergebnisse richtig.

10500 - 8000 = 2500 = 1 Std.

Das Doppelte von 8000 wäre 16000, also noch mal 8000 dazu.

2500 = 1 Std.

8000 : 2500 = 3,2 Stunden 

60 Min. • 0,2 = 12 Min. 

Die Bakterien haben sich in 3 Std. und 12 Min. verdoppelt.

Das hängt doch von dem Wachstum der Bakterien ab.

Ist das exponentiell oder linear ?

Toternensch 15.08.2016, 18:00

Wenn nicht mehr angeben ist vermute ich ist es Lineal

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Willibergi 15.08.2016, 21:44
@Toternensch

Nein. Bakterienwachstum ist - von seltenen Ausnahmen abgesehen - immer exponentiell, nicht linear.

Dies lässt sich auch aus dem Aufgabentext schließen.

LG Willibergi 

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Pretan4 20.08.2016, 13:57
@Willibergi

Das hier ist eindeutig eine Theorethische Aufgabe, und da gilt  : Explizit ist besser als Implizit .   


Ansonsten können wir auch gleich sagen, dass die Frage nicht beantwortbar ist, da ja das Wachstumlimit eine Bakterienkolonie erreicht sein könnte....


LG pretan4   (was soll das ? :D)

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