Mathe aufgabe - Beweisen...

... komplette Frage anzeigen

3 Antworten

In der fünften Zeile, also nach der vierten Differenzenbildung, ist immer Schluss, da du dort stets eine 6 stehen hast.
Betrachte dazu vier beliebige aufeinanderfolge Kubikzahlen (n-1)^3, n^3, (n+1)^3 und (n+2)^3.
Dies sind (n^3-3n^2+3n-1), (n^3), (n^3+3n^2+3n+1) und (n^3+6n^2+12n+8).

Die drei Differenzen heißen nun:
(3n^2-3n+1), (3n^2+3n+1) (3n^2+9n+7).
Die beiden Differenzen davon heißen
(6n) und (6n+6).
Die Differenz dieser beiden Zahlen schließlich ist einfach (6n+6)-(6n) = 6.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung

Induktionsbeweis ist gar nicht erforderlich.

.

Man muß nur aufschreiben, wie sich die Differenzen der Differenzen der Differenzen aufbauen, nämlich so:

In der 1. Zeile stehen Kubikzahlen, im Beispiel beginnend mit dem Anfang der Folge ( 1 ^ 3 ).

Im Allgemeinen kann man jedoch einen beliebigen Ausschnitt aus dieser Folge betrachten, nehmen wir den, der mit n ^ 3 beginnt.

.

Die ersten 4 Kubikzahlen, beginnend mit n ^ 3, sind:

n ^ 3, ( n + 1 ) ^ 3, ( n + 2 ) ^ 3 und ( n + 3 ) ^ 3.

.

Die zugehörigen Differenzen ( 2. Zeile) sind dann

( n + 1 ) ^ 3 - n ^ 3, ( n + 2 ) ^ 3 - ( n + 1 ) ^ 3, ( n + 3 ) ^ 3 - ( n + 2 ) ^ 3

.

In der dritten Zeile befinden sich dann nur nur noch zwei Differenzen, nämlich

( n + 2 ) ^ 3 - ( n + 1 ) ^ 3 - ( ( n + 1 ) ^ 3 - n ^ 3 )

und

( n + 3 ) ^ 3 - ( n + 2 ) ^ 3 - ( ( n + 2 ) ^ 3 - ( n + 1 ) ^ 3 )

zusammengefasst:

( n + 2 ) ^ 3 - 2 * ( n + 1 ) ^ 3 + n ^ 3, ( n + 3 ) ^ 3 - 2 * ( n + 2 ) ^ 3 + ( n + 1 ) ^ 3

.

und die 4. Zeile besteht nur noch aus einer Differenz, nämlich:

( n + 3 ) ^ 3 - 2 * ( n + 2 ) ^ 3 + ( n + 1 ) ^ 3 - ( ( n + 2 ) ^ 3 - 2 * ( n + 1 ) ^ 3 + n ^ 3 )

zusammengefasst:

( n + 3 ) ^ 3 - 3 * ( n + 2 ) ^ 3 + 3 * ( n + 1 ) ^ 3 ) - n ^ 3

.

Multipliziert man diesen Ausdruck nun aus und fasst zusammen, dann stellt man fest:

Sämtliche Potenzen von n fallen weg - übrig bleibt der Wert 6 !

.

Da n beliebig gewählt wurde, gilt dies für alle n .

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von lks72
15.10.2010, 17:08

Kennst du den Spruch mit den zwei Dummen? :-)

0

Das wäre ein schöner Induktionsbeweis.

Antwort bewerten Vielen Dank für Deine Bewertung
Kommentar von SchiggyFan
15.10.2010, 15:01

ein bittewas?

0

Was möchtest Du wissen?