Mathe (Ableitungen) Wie geht das?

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1 Antwort

Zu deiner Aufgabe im Kommentar:

Wenn das Quadrat durch die Punkte

(0 | 0), (a | 0), (0 | b), (a | b) , wobei a,b > 0

begrenzt wird, ist das einfach, denn schon von der Vorstellung ist klar, dass das Quadrat mit der Kantenlänge a = 3 den größten Flächeninhalt hat.


Rechnung "streng nach Standard":

Der Flächeninhalt A des Rechtes ist A = ab (Hauptbedingung)

Da der Punkt (a | b) auf t liegen soll, ist b = t(a) = -a +6 (Nebenbedingung)

Wenn es genau eine Nebenbedingung gibt, ist diese immer eine Gleichung mit zwei Variablen. Die lässt ich nach einer Variable auflösen und so in die Hauptbedingung einsetzen, dass die gesuchte Größe (hier: A) nur noch Funktion einer einzigen Variable ist (und nicht mehr von zweien). Diese Funktion hießt Zielfunktion.

Hier brauchst du die Nebenbedingung nicht aufzulösen, denn sie ist schon (nach b) aufgelöst. Einsetzen in die Hauptbedingung ergibt:

A = a ( -a +6); ( = Zielfunktion);

A = -a² + 6a ; folgt Kurvendiskussion. - Ableitung mit a als Variable:

A' = -2a + 6;

A'' = -2 <0 ⇒ Wenn die Zielfunktion (überhaupt) ein Extremum hat, ist dies ein Maximum.

Bestimmung des Extremums mit A' = 0 ⇒

0 = -2a + 6, und das gesuchte Maximum ist bei

a = 3, wie erwartet.


In der Hauptbedingung kann die gesuchte Größe auch von mehr als zwei Variablen abhängen. Dann brauchst du mehr als eine Nebenbedingung, um eine Zielfunktion zu erstellen, die nur noch von einer Variable abhängt. Ansonsten ist der "Gedanke" aber der gleiche.

Das Ganze setzt voraus, dass du weißt, wie Funktionen abgeleitet werden. Melde dich bei Schwierigkeiten.

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