Mathe - Wendepunkt Bedingung (bei Funktion 3. Grades)?

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4 Antworten

Die 2. Bedingung muss natürlich f(2)=1 heißen, dass bei einem Wendepunkt die 2. Ableitung =0 ist, ist aber richtig.

Den Funktionsterm bildest du, in dem du dir ein LGS aufstellst, mit den Variablen von ax^3+bx^2+cx+d. Du hast 4 Gleichungen und 4 Unbekannte, kannst es also lösen.

Fast gut, du hast bloß die Koordinaten von W entweder in den Bedingungen oder in der Angabe verdreht.

f(2)=1 und f"(2)=0
f(3)= 0 und f'(3)=0 ist richtig

also ax^3+ bx+c=f(x) ist die Gleichung einer kubischen Funktion
Nur die 4 Bedingungen einsetzen und umformen

Korrektur: ax^3 + bx^2 + cx+d = f(x)

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Eine Steckbriefaufgabe. Ich arbeite hier nur mit Schmuddeltricks; zwei alternative Wege bieten sich an. Was euch eure Lehrer und das Internet verschweigen; Diktat für Schmierzettel und Formelsammlung.
" Alle kubistischen Polynome singen immer wieder die selbe Melodie. "
Sie verlaufen nämlich PUNKT SYMMETRISCH gegen ihren WP . Dann müssen aber auch die beiden Extrema Spiegel symmetrisch fallen, d.h. du bekommst die aritmetische Mittelwertbeziehung für Spickzettel und Formelsammlung

( x / y ) ( w ) = 1/2 [ ( x / y ) ( max ) + ( x / y ) ( min ) ]         ( 1 )

Damit enthält die Aufgabe eine versteckte Zusatzinfo, die so von ihren Erfindern nie beabsichtigt war; wenn zu zwei kritische Punkte hast, hast du automatisch den dritten. In unserem Falle wäre

     x ( max ) = 1                 ( 2 )

Damit haben wir aber BEIDE NULLSTELLEN DER ERSTEN ABLEITUNG IN DER TASCHE .

         f ' ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 3 ) =         ( 3a )

                   = k ( x ² - 4 x + 3 )              ( 3b )

Was bleibt zu tun? " Aufleiten " ; ===> Stammfunktion. Selbst wenn du das noch nie gemacht haben solltest - echt kein Akt.

              f ( x ) = k ( 1/3 x ³ - 2 x ² + 3 x ) + C               ( 4 )

Wer in Schulaufgaben mehr wie 2 Unbeklannte investiert, lebt verkehrt. Dadurch wird ja nichts genauer; du weißt ja nie, ob dein LGS ===> schlecht konditioniert oder gar ===> linear abhängig ist. Dagegen meine beiden Unbekannten haben eine anschauliche Bedeutung: ===> Leitkoeffizient so wie ===> Integrationskonstante. Wir brauchen zwei Punkte des Grafen; nehmen wir zunächst das Minimum T , weil das eine Nullstelle gibt:

            9 k ( 1 - 2 + 1 ) + C = 0 ===> C = 0       ( 5a )

Schick; unsere Funktion verläuft durch den Ursprung. Das LGS separiert.
Jetzt schlage ich das Maximum ( 2 ) vor, weil sich mit Eins leichter rechnen lässt wie mit deinem Punkt. Wir müssen aber noch einmal spiegeln und ergänzen

             f ( max ) = 2            ( 5b )

         k ( 1/3 - 2 + 3 ) = 4/3 k = 2   ===> k = 3/2        ( 5c )

und aus ( 4 )

        f ( x ) = 1/2 x ³ - 3 x ² + 9/2 x             ( 6a )

Die Probe auf T und W habe ich eben mit dem Hornerschema sogar im Kopf gerschafft. Dann musst du noch einmal mit der Ableitung die Probe auf T mit dem Hornerschema machen. Halt Stop; für WP brauchst du KEINE 2. Ableitung; da gibt es wieder einen Schmuddeltrick. Für Spickzettel und Formelsammlung; diesmal benötigen wir die Normalform von ( 6a )

               F ( x ) = x ³ - 6 x ² + 9 x            ( 6b )

              x ( w ) = - 1/3 a2 = 2                 ( 6c ) ; Picobello fantastico

Bisher hatten wir ja " bottom up " gerechnet; also Aufleiten der ersten Ableitung. eingangs hatte ich euch eine Alternative versprochen, und die geht top - down. Ausgangspunkt wird genau Beziehung ( 6c ) ; Ehrenwort. Diesmal beschaffe ich mir keine Geheiminfos. Dein Minimum T ist immer eine gerade, hier also doppelte Nullstelle. Das gesuchte Polynom notiere ich zunächst in Normalform; dann ist aber der 3. Knoten x3 unbekannt:

       F ( x ) = ( x - 3 ) ² ( x - x3 )               ( 7a )

Da uns der WP gegeben ist, müssen wir gemäß ( 6c ) den Koeffizienten a2 bestimmen; zuständig ist der Satz von Vieta, der vielleivht für 3. Grad nicht so popolär ist wie bei quadratischen Gleichungen. Aber es ist wirklich kein Akt:

          a2 = - ( x1 + x2 + x3 ) = - ( 6 + x3 )            ( 7b )

    x ( w ) = - 1/3 a2 = 2 + 1/3 x3 = 2  ===> x3 = 0 ( 7c )

Dass das Ergebnis mit ( 6b ) übereinstimmt, sirhst du elementar ein. Bliebe auch hier wieder leitkoeffizient k ; welche Bedingung ist noch offen?

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