Mathe - Stetigkeit und Differenzierbarkeit! Dringend!

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3 Antworten

Ein Ansatz: Man suche nur nach problematischen Stellen: wo die Funktion nicht stetig bzw. nicht differenzierbar ist. Man schaust sich praktisch die Definitions der Funktion an und leite daraus diese Stellen ab.

Lemma. Für jedes x im Definitionsbereich gilt: ƒ diff’bar in x ==> ƒ stetig in x.

Lemma. Für ƒ eine Zusammensetzung aus Funktionen g, h, … gilt: x im Inneren des Definitionsbereichs von g & stetig bzw. diff'bar in x ==> ƒ stetig bzw. diff'bar in x.

  • F1. ƒ = Verkettung aus |·| und Sin(·).
    • Sin(·) überall stetig, überall diffbar
    • |·| überall stetig, nur bei 0 nicht diffbar
    • Also: ƒ = |·| ○ Sin(·) überall stetig, nur nicht diffbar, bei {x : Sin(x)=0} also πZ.
  • F2. ƒ = Zusammensetzung aus g=x²–2x=(x–1)²–1 auf ]-∞; 1[ und h=(x–1)² auf [1; ∞[
    • g, h überall stetig und diffbar
    • Abschluss(Def.bereich g) ⋂ Abschluss(Def.bereich h) = {1}
    • Lim[x—>1+] h(x) = 0 ≠ -1 = Lim[x—>1-] g(x)
    • Also: ƒ = g ⋃ h nur bei {1} nicht stetig (und entsprechend nicht diff'bar).
  • F3. ƒ = Zusammensetzung aus g=√x auf [0; 1[ und h=(x+1)/2 auf [1; ∞[
    • g überall stetig, nur bei {0} nicht diff'bar.
    • h überall stetig, überall diffbar.
    • Abschluss(Def.bereich g) ⋂ Abschluss(Def.bereich h) = {1}
    • Lim[x—>1+] h(x) = 1 = Lim[x—>1-] g(x)
    • g´(x)=1/(2√x) und h'(x)=0,5. Lim[x—>1+] h´(x) = 0,5 = Lim[x—>1-] g´(x)
    • Also: ƒ = g ⋃ h überall stetig und nur bei {0} nicht diff'bar.
  • F4. ƒ = 2–x² auf ℝ \ {0} und 1 bei x=0
    • ƒ|ℝ \ {0} überall stetig, überall diff'bar. ℝ \ {0} eine offene Menge.
    • Abschluss(ℝ \ {0}) ⋂ Abschluss({0}) = {0}
    • Lim[x—>0, x ∈ ℝ \ {0}] ƒ(x) = 2 ≠ 1 = ƒ(0)
    • Also: ƒ nur bei {0} nicht stetig und nur bei {0} nicht diff'bar

.

       ~S  | ~D
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F1.     Ø  | π·ℤ
F2.    {1} | {1}
F3.     Ø  | {0}
F1.    {0} | {0}

A. Was unstetig ist, kann nicht differenzierbar sein. Wenn du eine Unstetigkeitsstelle nachweist, hat sich die Frage der Differenzierbarkeit an dieser Stelle (gleich mit) erledigt.


B. Eine Funktion ist genau dann stetig an der Stelle x = x0, wenn für 0 < h → 0 :

lim f(x0 +h) = f(x0) und lim f(x0 -h) = f(x0);

so rechnest du das auch (mit Grenzwertrechnung). Wenn die Grenzwerte nicht übereinstimmen, ist die Funktion unstetig.


C. Eine Funktion ist genau dann differenzierbar an der Stelle x = x0, wenn für 0 < h → 0 :

lim ( f(x0 +h) - f(x0) ) / h = lim ( f(x0 -h) - f(x0) ) / h

auch das eignet sich zur rechnerischen Überprüfung.

wenn die Zahl nicht in der Definitionsmenge ist, dann ist der Graph an der Stelle nicht differenzierbar...

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