Mathe - Hinreichende Bedingung?

2 Antworten

Da, wo der Funktionsgraph seine Extrempunkte hat, hat der Ableitungsgraph seine Nullstellen (=notwendige Bedingung: f'(x)=0).

Desweiteren kann man beobachten, dass der Ableitungsgraph am Hochpunkt von oben nach unten durch die x-Achse läuft (Vorzeichenwechsel von + nach -, bzw. die Steigung des Ableitungsgraphen ist negativ); beim Tiefpunkt ist es umgekehrt.

Da die Steigung der Ableitung durch die 2. Ableitung ausgedrückt wird, kann man sagen:

Hochpunkt: f'(x)=0 (notwendige Bedingung) und f''(x)<0 (hinreichende Bedingung)
Tiefpunkt: f'(x)=0 und f''(x)>0 (d. h. am Tiefpunkt ist die Steigung der Ableitung positiv)

warum f'' ?

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@MAXIMlLIAN

f'' (sprich: "f zwei strich") ist die 2. Ableitung.

Es gibt 2 Möglichkeiten um die hinreichende Bedingung zu prüfen:

entweder Du prüfst, ob die erste Ableitung vor und hinter der Extremstelle ein anderes Vorzeichen hat (von plus nach minus => Hochpunkt; von minus nach plus => Tiefpunkt), oder man prüft ob die zweite Ableitung an der Extremstelle negativ (f''(x)<0 => Hochpunkt) oder positiv (f''(x)>0 => Tiefpunkt) ist. Beide Vorgehensweisen bedeuten das gleiche.

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@Rhenane

also kann man es auch mit der 1. Ableitung prüfen?

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@MAXIMlLIAN

ja, mit der ersten Ableitung machst Du die Prüfung auf Vorzeichenwechsel;
ist halt die Frage, was schneller/leichter geht; "zu meiner Zeit" wurde die Prüfung auf Vorzeichenwechsel nur mal kurz erwähnt. Wir haben eigentlich immer mit der 2. Ableitung die hinreichende Bedingung geprüft.

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hinreichende Bedingung:

f'(x) = 0 ∧ f''(x) ≠ 0

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