Mathe - Extremwertaufgabe - minimal. Flächeninhalt Parabel?

Aufgabe - (Mathematik, Extremwertaufgaben)

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1. Hauptfunktion aufstellen - hier musst du die zu optimierende Größe irgendwie durch die Funktion darstellen.

In diesem Fall den Flächeninhalt des Rechtecks, mit A=b*h folgt ja:

A(f,x)=x*f(x) wobei x die Breite und f(x) die Höhe beschreibt.

2.
Nebenbedingung aufstellen - hier musst du einen der beiden Variablen f
oder x in Abhängigkeit des anderen darstellen. Das hast du durch die
Funktionsvorschrift ja schon gegeben.

3. Nebenbedingung einsetzen:

A(x)=x*(2/9x^2-2x+6)=2/9x^3-2x^2+6x

4.
Definitionsbereich festlegen - Du musst schauen, dass deine Werte auch
Sinn machen, in deinem Fall kann man davon ausgehen, dass für alle
positiven x-Werte auch ein Rechteck definiert ist, da keine
Einschränkungen in der Angabe stehen. Zwecksmäßig kann man auch die
obere Intervallgrenze bei Neun setzen, da die Zeichnung dies andeutet.

D=[0;9]

5. Minimum ermitteln:

Ansatz f'(x)=0

2/3x^2-4x+6=0 -> x1,2=(4+-sqrt(16-16))/(4/3)=3

-> lokales Extremum oder Wendepunkt bei x=3

Untersuchung nach Art des kritischen Punktes:

f''(x)=0

4/3x-4=0 -> x=3

-> Wendepunkt an der Stelle x=3

Da keine lokalen Extrema existieren, sucht man das Minimum an den Rändern des Definitionsbereiches.

f(0)=0 f(9)=54 

f(0)<f(9) -> globales Minimum von A(x) an der Stelle Null

ich weiß es passt nicht zum extremalproblem, aber könntest du nicht einfach die punkte der rechtecke ausrechnen und damit die fläche? xD

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