Massenträgheitsmoment einer Kugel bezüglich einer Achse berechnen (analsis 2, Mechanik?

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1 Antwort

Man macht aus dem Volumenintegral drei ineinander verschachtelte Integrale.

Der Integrand ist in allen Koordinaten stetig, daraus folgt - wenn ich mich richtig erinnere - die Reihenfolge, in der man über die einzelnen Variablen integriert, egal. (Die Bedingung ist nur hinreichend, aber die schwächste Bedingung ist nicht so leicht zu merken.)

Wenn du dich für eine Reihenfolge der Integrationen entschieden hast, musst du ermitteln, wie von außen nach innen die Grenzen des jeweils nächstinneren Integrals von den Variablen der äußeren Integrale abhängen.

Wenn wir die Reihenfolge (v. a. n. i.) z -> y -> x wählen:

z kann alle Werte zwischen -R und +R annehmen und läuft damit von -R bis +R.

Für jedes z kann y die Werte von -√(R^2 - z^2) bis +√(R^2 - z^2) annehmen.

Für jede Wahl von z und y kann x die Werte von -√(R^2 - z^2 - y^2) bis +√(R^2 - z^2 - y^2) annehmen.

Also:

I =

Integral( z von -R bis +R dz ) (
. Integral( y von -√(R^2 - z^2) bis +√(R^2 - z^2) dy ) (
. . Integral( x von -√(R^2 - z^2 - y^2) bis +√(R^2 - z^2 - y^2) dx ) (
. . . (x^2 + y^2)
. . )
. )
)

Die Integrationsvariablen der jeweils weiter außen liegenden Integrale gelten in den jeweils weiter innen liegenden Integralen als Konstante.

Möglicherweise ist eine andere Reihenfolge der Integrationsvariablen einfacher, das müsste man aber ausprobieren oder sehr viel Erfahrung mit solchen Integralen haben.

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