Mahthe-Aufgabe Formel Lösung?

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4 Antworten

Du musst dir erst einmal eine Formel zur Berechnung der Einnahmen erstellen.

Die Einnahmen bei Standardsituation sind einfach: 240 * 8=Y

Du kannst die 8 beliebig erhöhen um ein Vielfaches von 0,50

Also wird aus 8 im nächsten Schritt 8 +0,5x

Im selbem Zuge, wie du 8 erhöhst, verringert sich 240 um das Zehnfache von x.

Also wird aus 240 im nächsten Schritt 240 - 10x.

Die Formel zur Einnahmenermittlung ist also (240-10x)*(8+0,5x)=Y

Die Klammern kann man mit der Binomischen Formel auflösen. Es ergibt sich:

1.920+120x-80x-5x²=y

Wir formen um:

f(x)=-5x²+40x+1.920

Jetzt erkennen wir, dass es sich um eine quadratische Funktion handelt. Aus einer solchen kann man leicht das Maximum ermitteln, indem wir die erste Ableitung bilden und diese Null setzen.

Kommst du von hier aus alleine weiter?

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Kommentar von Chr1ssi
25.10.2016, 17:41

Danke, jetzt weiß ich auch wie man auf die Idee kommt :D

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Das ist eine Extremwertaufgabe. Bei der musst du am Anfang eine Funktion bestimmen.

Bis jetzt weißt du ja, dass das Einkommen des Kinos sich aus Preis*Anzahl der Besucher errechnet.

Das bedeutet Einkommen= 8€*240= 1920€

Beim ersten Erhöhen des Preises wird daraus (8€+0,5€)*(240-10)=1955       und beim zweiten mal (8€+0,5€*2)*(240-10*2)=1980 und beim dritten mal 
(8€+0,5€*3)*(240-10*3)=1995

Man sieht, dass der Preis sich durch die Formel f(x)=(8€+0,5€x)*(240-10x) ergibt wobei x für die Anzahl der Erhöhung des Preises steht. Klammert man nun aus, so erhält man f(x)=-5x²+40x+1920. Nun haben wir schon mal eine Formel.

Nun muss man nur noch Ableiten und dann Null setzen.

           f'(x) = -10x+40
                     -10x+40 = 0    l-40                                                                                             -10x       = -40 l÷(-10)                                                                                             x       =  4

Nun muss man nur noch schauen ob das Ergebnis negativ ist, wenn man diesen Wert in die zweite Ableitung einsetzt, um sicherzugehen, ob es sich tatsächlich um einen Hochpunkt handelt.

           f''(x) = -10                                                                                                          f''(4) = -10

Es sind also 4 Erhöhungen des Preises um jeweils 0,5€ notwendig, damit das Kino das größte Einkommen hat.

f(4)=(8€+0,5€*4)*(240-10*4) = 10€*200 =2000€

Dabei läge der Preis bei 10€, es gäbe ein Besucherzahl von 200 Personen und das Kino nähme 2000€ ein.

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Du brauchst ja nur Anzahl Besucher * Preis zu rechnen und die Zahlen zu vergleichen. Das ist noch unterhalb des Niveaus einer Formel.
Noch nicht einmal % oder so etwas!

Oder soll es ein automatischer Vergleich werden bis auf 0 Besucher hinunter?
(Realistisch wäre der aber nicht.)

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Kommentar von Chr1ssi
25.10.2016, 17:28

Aber das Thema is "Quadratische Funktionen" und wir sollen dazu nunmal eine Formel herausfinden... Ich weiß das ist total einfach aber die Schwierigkeit ist ja eine Formel heraus zu finden

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Kommentar von Volens
25.10.2016, 17:42

Mal unterstellt, wir hätten da eine Gestzmäßigkeit, würde sie so aussehen:

f(x) = (240 - 10x) * (8 + 0,5x)        240 immer um 10 vermindern
                                                     8€ immer umm 50 Cent vermehren
f(x) = -5x² + 40x + 1920                wenn ich mich nicht vertan habe

Das kann man ableiten und das Maximum berechnen.
Viel Spaß!

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G(p) = B(p)*p

B(p) = B(0) - 10*(p - p(0))/dp

--> G(p) = -10*p²/dp + (10*p(0)/dp + B(0))*p

--> = -10/dp *( p² - (dp/10)*(10*p(0)/dp + B(0))*p )

--> = -10/dp { [p - (dp/20)*(10*p(0)/dp + B(0)) ]^2  - (dp/20 *(10p(0)/dp+B(0)))²}

--> = -10/dp*{ p - (dp/20)*(10*p(0)/dp + B(0)) }^2 + dp/40 *(10p(0)/dp+B(0)))²

Daraus folgt für die Koordinaten des Scheitelpunktes:

S = ( (dp/20)*(10*p(0)/dp + B(0)) |  dp/40 *(10p(0)/dp+B(0)))²  )

Mit:

- p = Preis

- G(p) = Gewinn(Preis)

- B(p) = Besucher(Preis)

- B(0) = Besucher(P(0))

- P(0) = ursprünglicher Preis

- dp = kritische Preisdifferenz  (hier 50ct)

Einsetzen liefert hier also:

p(0) = 8€

B(0) = 240

dp = 50ct = 0.5€

und damit für den Scheitelpunkt:

S = ( 10 |  2000 )

damit wäre hier in diesem Fall der ideale Preis 10€  und der Gewinn beläuft sich in diesem Fall auf  2000€ .

Dabei sieht der Graph der Gewinnfunktion unter diesen Bedinungungen wie folgt aus:  (siehe Wolfram Alpha Link)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=G(p)+%3D+-10%2F0.5*(+p+-+(0.5%2F20)*(10*8%2F0.5+%2B+240)+)%5E2+%2B+0.5%2F40+*(10*8%2F0.5%2B240)%C2%B2

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Kommentar von poseidon42
25.10.2016, 17:51

Jedoch ist dies nur gültig unter der Annahme, dass der Zusammenhang zwischen Preis und Besucherzahl(Preis) ein linearer ist.

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Kommentar von Chr1ssi
25.10.2016, 18:25

Das sieht mir etwas kompliziert aus... mit so vielen Klammern rechnen wir noch garnicht:D

Trotzdem Danke

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