Lotfußpunkt - Berechnung vom Abstand eines Punktes zur Ebene, gehe ich richtig vor?

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2 Antworten

Hallo,

Dein Ergebnis stimmt nicht: der wirkliche Abstand ist nur halb so groß.

Du brauchst den Normalenvektor der Ebene, der einfach aus den Koeffizienten der Komponenten besteht: (1/2/-5)

Mit dem Punkt, der die Koordinaten des Stützvektors liefert, bekommst Du die Lotgerade:

(6/14/-12)+r*(1/2/-5)

Die setzt Du nun komponentenweise in die Ebenengleichung ein, also für x1 setzt Du 6+r ein, für x2 nimmst Du 14+2r, für x3 dann -12-5r

So bekommst Du die Gleichung:

6+r+28+4r+60+25r=6

Zusammenfassen:

94+30r=6

30r=-88

r=-88/30=-44/15

Das setzt Du wieder in die Geradengleichung ein, um den Lotfußpunkt zu bestimmen, den Punkt also, der in der Ebene genau senkrecht unter P liegt:

Wenn Du diesen Punkt, nennen wir ihn Q, hast, kannst Du aus P-Q den Abstand bestimmen.

Nun kannst Du Dir Arbeit sparen.

Anstatt Q=P-44/15*(1/2/-5) zu berechnen, um anschließend wieder P abzuziehen, berechnest Du einfach nur -44/15*(1/2/-5) und daraus den Betrag.

(-44/15|-88/15|44/3)

Der Betrag daraus, und damit der gesuchte Abstand, ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate dieser drei Zahlen, wobei Du die Minuszeichen weglassen kannst, denn die Quadrate werden sowieso positiv:

Die Wurzel aus ((44/15)²+(88/15)²+(44/3)²)=16,067

Genau diesen Wert hat mein Matheprogramm auch berechnet.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von NoTrolling
26.11.2016, 22:54

...Und die Wahrscheinlichkeit verringert sich, dass man die falsche Komponente in den Rechner tippt... :P

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Du musst eine Gerade durch den Punkt P konstruieren, dessen Richtungsvektor dem Normalenvektor deiner Ebene entspricht. Anschließend kannst du das Problem als Schnittaufgabe sehen.

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Kommentar von huntr645
26.11.2016, 20:51

das habe ich. h:x = ( 6 / 14 / - 12) + t ( 1 / 2 / - 5) dann in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt und berechnet. Dadurch ergab sich Vektor "f" und von dem hab ich den Punkt also ( 6 / 14 / -12) abgezogen und die länge berechnet. Weiß halt nur nicht ob es stimmt.

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