Lokale Änderungsrate mit oder ohne Ableitung?

Hey Leute!!!
Berechne ich die lokale Änderungsrate mit den Differenzialquotienten oder ziehe ich die 1. Ableitung von der Funktion und setze einfach nur dann den x wert ein?
Ich dachte es so dass wenn zwei Intervalle gegeben sind benutze ich den Differenzialquotienten. Z.b [4;2] bei f(x)=x^2 dann ist es ja 16-4 geteilt durch 4-2. Ergebnis 4.
was ist aber wenn Sie mir nur EINEN Wert geben und die Funktion??

Answer 1

Answer 2

Answer 3

[von eddiefox]

Hallo,

du hast zwar schon Antworten, aber ich möchte dir noch meinen "Senf" dazugeben, um sicherzugehen, dass die Begriffe klar sind.

Berechne ich die lokale Änderungsrate mit den Differenzialquotienten oder ziehe ich die 1. Ableitung von der Funktion und setze einfach nur dann den x wert ein?

Das ist das gleiche:

lokale Änderungsrate von f an der Stelle x₀ =

Differentialquotient von f an der Stelle x₀ = 1. Ableitung von f an der Stelle x₀ =

$f'\left(x_0\right)=\lim_{h\to0}\ \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$

Ich dachte es so dass wenn zwei Intervalle gegeben sind benutze ich den Differenzialquotienten. Z.b [4;2] bei f(x)=x^2 dann ist es ja 16-4 geteilt durch 4-2. Ergebnis 4. 

Das nennt man den Differenzenquotienten von f im Intervall [2;4] , oder die
mittlere Änderungsrate, die Sekantensteigung, die Durchschnittssteigung
von f auf dem Intervall [2;4] :

$\frac{f\left(4\right)-f\left(2\right)}{4-2}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6$

oder allgemein der Differenzenquotient von f im Intervall [a;b] :

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}\ in\ \left[a;b\right]$

was ist aber wenn Sie mir nur EINEN Wert geben und die Funktion??

Dann kann man nur die 1. Ableitung, also den Differentialquotienten der Funktion an diesem Wert berechnen, aber nicht den Differenzenquotienten, da kein Intervall angegeben ist. (Man kann gegebenenfalls auch höhere als die 1. Ableitung der Funktion an dem gegebenen Wert berechnen)

Beispiel:

$f\left(x\right)=2x^3-\frac{1}{2}x\ ;\ x_0=-2$

$f'\left(x\right)=6x^2-\frac{1}{2}\ ,\ also\ f'\left(-2\right)=6\cdot\left(-2\right)^2-\frac{1}{2}=6\cdot4-\frac{1}{2}=\frac{47}{2}$

Gruss

Answer 4

[von Applwind]

Um ein paar Missverständnisse zu vermeiden, wir geben Intervalle immer vom kleinsten zum größten Wert an.

Daher f(x) = x^2 für im Intervall [2;4]

f(2) = 4

f(4) = 16

---

m = (16-4)/(4-2) = 6(!)

Oder genauer: b = - 8

f(x) = 6x - 8

Zur Frage:

Wenn du die mittlere Steigung zwischen zwei Punkten ermitteln sollst oder besser gesagt die mittlere Änderungsrate, so nutzt du den Differenzenquotienten oder alternativ ein LGS

Wäre:

16 = 4m + b

4 = 2m + b I * (-2)

16 = 4m + b

-8 = -4m - 2b

8 = -b

-8 = b

4 = 2m - 8 <=> 12 = 2m <=> m = 6

f(x) = 6x - 8

Musst du die lokale Änderungsrate bestimmen daher die Steigung im diesen Punkte oder die Stelle (x Wert), so nutzt du entweder den Differentialquotienten oder die erste Ableitung.

Answer 5

[von Comment0815]

Wenn du die MITTLERE Änderungsrate in einem Intervall suchst, bist du mit dem Differenzenquotienten gut bedient. Wenn du aber die Steigung in einem ganz bestimmten Punkte (also einem unendlich kleinen Intervall rund um einen Punkt) suchst, ist die Ableitung die richtige Wahl.