Logarithmus...Irgendwie ergibt das kein Sinn...Kommt 0 raus?

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4 Antworten

"Mit sich selbst multiplizieren" funktioniert nur bei wenigen Spezialfällen!

Eigentlich ist nur die natürliche Log-Funktion einfach per Reihe (Summe  mit

unendlich vielen Summanden) zu berechnen:

Basis e: ln(x)=log(x)=

(x-1)-1/2(x-1)²+1/3(x-1)³-1/4(x-1)^4+1/5(x-1)^5-...
abs(1-x)<1 ; größere x werden mit Rechengesetzen verkleinert

Jede andere Basis

n

wird mit dem Gesetz

log n(x)= log(x)/log(n) behandelt (auch vom Taschenrechner)

lg(x)=log₁₀(x)=log(x)/log(10)

ld(x)=log₂(x)=log(x)/log(2)

log2(1,5)=log(3/2)/log(2)=0.5849625007211561814537389...

log0,5(0,1)=log(1/10)/log(1/2)=3.32192809488736234787031942948939...

denn log(0.5)=log(1/2)=-log(2)= http://oeis.org/A002162

=-0.693147180559945309417232121458176568...

log(1/10)=(0.1-1)-1/2(0.1-1)²+1/3(0.1-1)³-1/4(0.1-1)^4+1/5(0.1-1)^5-...

...(0.1-1)^50/50 

-2.3... genauer =-log(10)= 

http://oeis.org/A002392

=-2.3025850929940456840179914546843642076...

A002392/

A002162 = 

3.32192809488736234787...

(von beiden Konstanten sind über 20000 Stellen bekannt)

log3(9)=log(9)/log(3)=2

Zu 99% (außer Lehrer, die stellen gern Spezialfallaufgaben) kommt bei log(x) immer eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen heraus. Also nicht die 3 Punkte hinten vergessen, da es sonst als Bruch darstellbar wäre.

Für viele Taschenrechner und 99% der Computerprogramme kannst Du schon mal den Punkt statt das Komma als Dezimaltrennzeichen merken.

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0,5^x=0,1 logarithmiert log0,5(0,1)=x

Problem hier log0,5 ist der Logarithmus zur Basis 0,5,der aber nicht auf den Taschenrechner installiert ist !

Installiert sind die beiden Logarithmen lg hat die Basis 10 und der Logarithmus "Naturalis" ln,hat die Basis 2,7....(e !!) 

10^3=1000 logarithmiert lg(1000)= 3

Beispiel e^3=20,0855 logarithmiert ergibt 3=ln(20,0855)

Nun zu den Logarithmus log0,5 hat die Basis "0,5"

Aus den Mathe-Formelbuch "Logarithmengesetze"

log(a^x)= x * log(a)

deine Aufgabe : 0,5^x=0,1 logarithmiert lg(0,5^x)=x *lg(0,5) = lg(0,1)   

ergibt x= lg(0,1)/lg(0,5)=3,3219... Probe : 0,5^3,3219=0,1

Das selbe Ergebnis ergibt sich mit ln(0,5^x)=ln(0,1) x=ln(0,1)/ln(0,5)=3,32.

Formel also : a^x=b ergibt x=lg(b)/lg(a) oder x=ln(b)/ln(a)

Nehme diese Formel in deine Unterlagen auf !! Diese Formel,wirst du noch oft gebrauchen müssen.

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Ich vermute dein Problem ist, wie man hoch x rechnen soll, wenn x keine ganze Zahl ist, oder? Deshalb kommst du bei 2 hoch x nur auf 2,4,8,16 usw.

Wenn du die Potenzgesetze kennst (die sind normalerweise vorher dran), weißt du dass a^b * a^c = a^(b+c) ist. Dann gilt auch a^0,5 * a^0,5 = a^1 = a

Welche Zahl muss dann a^0,5 sein, die mit sich selbst multipliziert a ergibt? Genau, das ist wurzel(a)!

Entsprechend ist a^(1/3) die dritte Wurzel aus a und wenn du das quadrierst hast du a^(2/3). Macht Sinn?

a^1,234 = a^(1234/1000) ist die tausendste Wurzel aus a^1234, d.h. du kannst jeder beliebigen (positiven) Zahl im Exponenten einen Sinn zuordnen.

Die Umkehrung davon ist der Logarithmus und dann kann man auch die Zahl finden, die als Exponent bei 2 als Ergebnis 1,5 hat. Nicht zu Fuß, aber mit einem Taschenrechener oder (früher, als es noch keine TR gab) mit Tabellen.

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Die ersten beiden Aufgaben würden so nicht ernsthaft in einem Buch stehen. Es gibt zwar Lösungen, aber die kennt nur der Taschenrechner, und die meisten von denen auch nur, wenn man weiß:

log2(1,5) = log 1,5 / log 2 = 0,58496
Tatsächlich ist 2^0,58496  = 1,499997           gerundet stimmt es

log3(9) = 2   ist richtig

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