Logarithmus: Wieso gilt für ln(x), x>0? Wieso ist z.B. der ln(-1) keine Funktion?

4 Antworten

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Hallo,

f(x)=ln (x) hat als Funktionswert den Exponenten, mit dem Du die Eulersche Zahl e potenzieren mußt, um auf x zu kommen.

e ist die Basis des natürlichen Logarithmus, so wie 10 die Basis des Zehnerlogarithmus ist.

e ist gleich 2,718281828

Wenn Du also den ln von 5 bestimmen möchtest, brauchst Du die Zahl, mit der man e potenzieren muß, um auf 5 zu kommen, also die Lösung zur Gleichung e^x=5

x wäre dann ln (5)=1,609437912, denn e^1,609437912=5

Jetzt ist auch einsichtig, warum die Funktion f(x)=ln (x) nicht für Werte <=0 definiert ist.

Mit welcher Zahl willst Du denn e potenzieren, um auf 0 oder gar eine negative Zahl zu kommen?

e ist eine positive Zahl. Egal, womit Du diese Zahl potenzierst - als Ergebnis wirst Du immer eine positive Zahl bekommen, die größer als Null ist. Das geht gar nicht anders.

Daher gibt es weder zu Null noch zu irgendeiner negativen Zahl einen natürlichen Logarithmus.

Herzliche Grüße,

Willy

Mein Gott, geht doch.

Einmal gelesen, sofort alles verstanden - Frage beantwortet.

Vielen Dank! Jetzt habe den Logarithmus auch mal im Kopf besser bzw. überhaupt richtig verstanden.

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ln(5) ist nicht f(x)=5.

f(x)=5 ist eine eigenständige Funktion, die hat absolut nichts mit dem Logarithmus zu tun.
Nach analoger Argumentation könntest du ja den Schluss ln(10)=10, ln(11)=11 usw. ziehen, demnach also ln(x)=x setzen. Dann bräuchte der ln aber keine eigene Bezeichnung. Macht das Sinn? Nein, weil ln(x)=x eben nicht allgemein stimmt.

Weißt du überhaupt, was der ln 'bringt'?

Die e-Funktion hat als Definitionsbereich alle reellen Zahlen, aber als Wertebereich nur die positiven reellen Zahlen. D.h. egal was Sie für x in e^x einsetzen das Ergebnis ist IMMER größer als Null.

Die Umkehrfunktion einer Funktion hat als Definitionsbereich den Wertebereich der Funktion und als Wertebereich den Definitionsbereich der Funktion.

ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x. D.h. der Definitionsbereich sind die positiven reellen Zahlen (das ist der Wertebereich von e^x) und der Wertebereich sind alle reellen Zahlen (das ist der Definitionsbereich von e^x).

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