Lösungsmenge von: 2sinx + cosx = 1,5?

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3 Antworten

Hallo,

ich habe die Tatsache ausgenutzt, daß sin²x+cos²x=1
und daher cosx=√(1-sinx)

So erhältst Du die Gleichung 

2*sinx+√(1-sin²x)=1,5

√(1-sin²x)=1,5-2*sinx

Beide Seiten quadrieren:

1-sin²x=2,25-6*sinx+4*sin²x (2. binomische Formel)

Alles nach rechts und zusammenfassen:

0=5*sin²x-6*sinx+1,25

Das ist eine quadratische Gleichung, die Dir zwei Lösungen liefert:

sinx=0,93166247 oder sinx=0,26833752

Wenn Du diese Werte in den arcsin einsetzt, bekommst Du bei der Einstellung grad zwei Winkel, nämlich x=68,6954659° oder x=15,5653635°

Für den ersten Winkel geht die Gleichung nicht auf, dafür aber für den zweiten:

15,56...°

Wegen der Periodizität von Sinus und Kosinus passen natürlich auch alle Winkel, die um 360° oder Vielfache von 360° dazu addiert werden.

Herzliche Grüße,

Willy

und daher cosx=√(1-sinx)

oder cosx= - √(1-sinx)

Nach dem Quadrieren landet man aber bei der selben Gleichung. Dein Ergebnis passt also wieder.

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Sie sind genial, danke!!

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Naja, also die Lösungsmenge ist:

IL = {x  ℝ | x = 2(πn * tan¹(1/5 * (4 ± √11)))  n  }; 

Sollte mit den entsprechenden Additionstheoremen zu lösen sein.

Danke sehr! Kannst du mir vielleicht erklären wie du drauf kommst?

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@HH94SK

Ich habe das jetzt auch nur schnell in ein CAS eingegeben. Wenn du Sinus und Kosinus als Tangens ausdrückst, dürfte das aber zu schaffen sein. :)

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@Willibergi

Wie kann man denn 2sinx + cosx anders ausdrücken? In meinem Mathebuch steht nur 2sinx * cosx = sin(2x) aber zu plus steht da nichts?

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@HH94SK

Ich rechne mit folgenden:

sin(x) = 2tan(x/2)/(tan²(x/2) + 1) und
cos(x) = (1 - tan²(x/2))/(1 + tan²(x/2))

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ersetz mal cos x durch wurzel(1-sin²x)  

dann wurzel auf eine seite bringen, dann quadrieren

und substituieren sin² = u²

5u² - 6u + 1,25 = 0    durch 5 teilen, pq- formel

dann resubstituieren mt sin^-1 (u)

usw

Danke für ihre Mühe :D!!

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