Lösungsmenge für die Gleichung (x^5) - 3(x^3) - 4x = 0?

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5 Antworten

Du musst erst x ausklammern, dann steht da

x (x^4 - 3x^2 - 4) = 0

damit weißt du ja, dass 0 eine Nullstelle ist, wie du schon selber herausgefunden hast.

dann machst du Substitution, das heißt du nennst x^2 einfach z. Dann steht da

z^2 - 3z - 4 = 0

Dann kannst du das einfach wie eine normale Gleichung auflösen, indem du die4addierst, das überbleibende z^2 - 3z wandelst du zu (z - 1,5)^2-2,25 = 4 und dann 2,25 addierst, dann von allem die Wurzel nimmst, sodass dort steht z - 1,5 = + 2,5 / -2,5 also ist z 4 oder -1. Da du x^2 durch z ersetzt hast ist x^2 = 4 und x^2= -1 jetzt musst du von beidem 

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Hallo,

klammere zunächst ein x aus:

f(x)=x*(x^4-3x^2-4)

Damit ist eine Nullstelle schon mal klar: x=0

Die anderen bekommst Du durch Lösen der biquadratischen Gleichung
x^4-3x^2-4=0

Ersetze x^2 durch z:

z²-3z-4=0

Das läßt sich entweder durch die pq-Formel lösen oder durch Faktorisieren:

(z+1)*(z-4)=0, was zu den Lösungen z=-1 oder z=4 führt.

Da z für x² steht, gilt x²=-1 mit der komplexen Lösung x=i und x²=4 mit den beiden reellen Lösungen x=-2 oder x=2

Herzliche Grüße,

Willy

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Bevor man losrechnet, immer erst die Gleichungen angucken!

x ausklammern   liegt hier auf der Hand.

Der Rest besteht aus x⁴ und x².
Mit der Substitution z = x² bekommst du eine quadratische Gleichung für die Lösung mit der p,q-Formel.

Das wäre auch so bei einer Aufgabe mit x⁶ und x³
bei Substitution z = x³ 
usw.

Nicht jede quadratische Gleichung erfordert die p,q-Formel.
Wenn man x ausklammern kann, gibt es nur noch eine Fallunterscheidung, denn bei
x (x - a) = 0
kann jeweils einer der beiden Faktoren Null sein.

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dannach kannst du folgendes Probieren und in die Funkion setzten:

x² (x²-3) = 2*2

x²=2 oder (x²-3) = 2

aus x² = 2 folgt x = -2 ; 2

aus (x²-3) = 2 folgt x = +-(die Wurzel von)5

nun kannst du Probieren welches von den x-en stimmt ;)

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Kommentar von Aditya
06.08.2017, 21:58

x = +-(die Wurzel von)5
 

Das steht im Buch nicht. Nur L = {-2 ; 0 ; 2}

in der Prüfung werde ich nicht genug Zeit haben, die Werte von x wieder in solchen Gleichungen einzusetzen. Wie kann ich mir sicher sein, dass

x = +-(die Wurzel von)5

nicht stimmt ?

 

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Kommentar von KDWalther
06.08.2017, 23:13

In Deiner Argumentation sind zwei Fehler:

Die Schlussfolgerung, dass aus x² (x²-3) = 2*2 folgt, dass einer der Faktoren auf der linken Seite jeweils einem der Faktoren auf der rechten Seite entsprechen muss [x²=2 oder (x²-3) = 2] ist eindeutig nicht richtig. Du könntest auf der rechten Seite z.B. auch 4·1 schreiben (oder 1·4 oder 0,5·8...]; und nun???

Und auch "aus x² = 2 folgt x = -2 ; 2" ist falsch, wie eine Probe sofort ergibt.

Richtiger Ansatz bei Willy oder anbanani. ;-)

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Du musst erst x ausklammern, dann steht da

x (x^4 - 3x^2 - 4) = 0

damit weißt du ja, dass 0 eine Nullstelle ist, wie du schon selber herausgefunden hast.

dann machst du Substitution, das heißt du nennst x^2 einfach z. Dann steht da

z^2 - 3z - 4 = 0

Dann kannst du das einfach wie eine normale Gleichung auflösen, indem du die4addierst, das überbleibende z^2 - 3z wandelst du zu (z - 1,5)^2-2,25 = 4 und dann 2,25 addierst, dann von allem die Wurzel nimmst, sodass dort steht z - 1,5 = + 2,5 / -2,5 also ist z 4 oder -1. Da du x^2 durch z ersetzt hast ist x^2 = 4 und x^2= -1 jetzt musst du von beidem die Wurzel nehmen also sind deine Lösungen 2 und -2. 

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