Habt Ihr Lösungsansätze für diese Mathematikaufgabe?

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2 Antworten

LK Mathe Klasse 11, da interessiert zunächst, welches Themengebiet da gefragt ist, oder direkter: Geht schon dreidimensional mit Vektoren oder muss es zweidimensional in der Ebene betrachtet werden ?

Ich frage deshalb, weil die Höhe des Raumes in der Aufgabe angegeben ist.

Auch ist die Frage der Extremwertbestimmung interessant, da müsste ja gerade ganzrationale Funktionen mit Ableitungen dran sein,

bin auf jeden Fall auf Deine Antwort ( Kommentar ) gespannt.

bellana123 22.02.2016, 11:28

wir müssen es zweidimensional betrachten und unser Themengebiet ist Extremwertberechnung:)

und ja wir haben gerade ganzrationale Funktionen mit Ableitungen :)

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Polynomo 22.02.2016, 14:16
@bellana123

Hallo bellanna123,

dann hat sich Euer Mathe-Kurs ja schon etwas kniffliges vorgenommen, denn so einfach löst man diese Aufgabe m.E. nicht, und ich habe mich schon ein wenig umgeschaut, eine einfachere Lösung ist wohl nicht in Sicht, wie ich sie jetzt vorschlagen möchte:

Also der Vorschlag von DoktorWurst wäre da zunächst zu verfolgen, das ganze halt doch mal zuerst in der Ebene zu betrachten, da wird man feststellen, dass der Transport so nicht möglich ist. Hat man dann also den "Haken" herausgefunden, also den Punkt, wo die Leiter sich verhakt, dann versucht man, sie aufzurichten, das aber widerum in einer Ebene.

Also Schritt 1) : Die Leiter liegt auf dem Boden (= x-y-Ebene) , und jetzt Achtung,  Bild um 180° drehen : Die x-Achse verläuft längs des 1,50m - Ganges, die y-Achse längs des 2,50m - Korridors, so dass der "Eckpunkt"

     P( 2,5 / 1,5 )  für die Leiter ein Hindernis darstellt.

Rechnerisch ist ein Leiterholm nun eine Gerade durch diesen Punkt P( 2,5 / 1,5 ) , und jede Gerade schneidet die x-Achse in einem Punkt A(a/0)  und die  y-Achse in einem Punkt  B(0/b).

Also nun: Aufstellen der Gleichung für die Geradenschar , ich würde als Parameter den y-Achsenabschnitt  b  nehmen, und die Länge der Strecke  (AB)  messen --> ergibt eine  Funktion in Abhängigkeit      von b, diese Funktion hat ein Minimum, das ist die größmögliche Leiterlänge, die den Transport ermöglicht. Diese Länge liegt unter dem vorhandenen Maß von  5m + 2*erforderlicher "Überstand" wg. der Leiterbreite, den würde ich mit (2*Wurzel 0,6) ansetzen.

Deshalb muss die Leiter in dieser Lage jetzt aufgerichtet werden, der Punkt B(0/b) bleibt am Boden, Der Punkt  A(a/0) wandert 2,40 m nach oben bis an die Decke, und jetzt wird wieder gemessen, und siehe da, die Leiter  kann transportiert werden !!!

Was sich aber so leicht anhört, ist mit viel Arbeit verbunden und führt schließlich zu einer Funktion, die in Klasse 11 noch nicht abgeleitet werden kann zwecks Bestimmung eines Minimums.

Also hat sich Euer Lehrer einfach zu viel vorgenommen oder aber er denkt an einen anderen Lösungsweg ( vielleicht mit TR mit algebraischen Funktionen ? ) oder, das wäre am einfachsten, an eine zeichnerische Lösung !!

Vielleicht kann ich das von Dir mal erfahren ?

Danke jedenfalls und alles Gute !!

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Polynomo 22.02.2016, 19:36
@Polynomo

Hallo bellana123,

jetzt melde ich mich nochmal, komme gerade von einer Fahrt zurück und habe mir unterwegs überlegt, ob diese Geraden, die der Leiterholm beschreibt, nicht einfacher zu bearbeiten wären, wenn die Steigung  m  der Parameter wäre. Meine Überlegung zuerst war ja, dass mit den Punkten  A(a/0)  und  B(0/b)  die Entfernung leicht zu messen wäre - mit Pythagoras.

Aber jetzt liefere ich Dir halt mal die komplette Rechnung, wie es aussieht, wenn wir die Ansicht lassen, wie in der Aufgabe vorgegeben, und den kritischen Eckpunkt als Ursprung des Koordinatensystems wählen.

Also x-Achse nach rechts und y-Achse nach hinten so, dass die beiden Begrenzungslinien

a) von Korridor        x = 2,5  und

b) von Gang            y = 1,5                                heißen.

Dann schneidet jede Ursprungsgerade        y = mx         diese beiden Linien in folgenden Punkten:

             A( 2,5 / 2,5*m )     und       B( 1,5/m / 1,5 )           und als Streckenlänge schreiben wir -> Pythagoras, also Wurzel aus...

( 1,5/m - 2,5 )²  +  ( 1,5 - 2,5m )² , und davon suchen wir ein Minimum

Ausmultiplizieren und zusammenfassen ergibt die  Funktion ( mit x statt m, wie gewohnt )

          f(x) = 6,25x² - 7,5x + 8,5 - 7,5/m + 2,25/m²

und die Ableitung       f´(x) = 12,5x - 7,5 + 7,5/x² - 4,5/x³

Die Gleichung   f´(x) = 0   gilt es jetzt zu lösen, das sieht nicht gut aus , auch wenn wir alles auf einen Bruchstrich schreiben :

    f´(x) = ( 12,5x^4 - 7,5x^3 + 7,5x - 4,5 ) / x³

Jetzt müssen wir den Nenner  = 0  setzen , dividieren dann aber noch schnell durch  12,5  um folgende Gleichung zu erhalten :

           x^4 - 0,6x³ + 0,6x - 0,36  =  0   

Jetzt ein Kunstkniff, der oft angewandt wird :  Eine Nullstelle sehen oder erkennen oder raten .....

In unserem Fall ist ja klar, dass wenn die Punkte   A  und  B  zusammenfallen  ( im Punkt  ( 2,5 / 1,5 ) ) , dass dann die Streckenlänge  =  0  ist, also mit Sicherheit ein Minimum. Also schnell, die zugehörige Steigung   ( m = 0,6 )  bestimmen und die Gleichung faktorisieren :

x^4 - 0,6x³ + 0,6x - 0,36  =  0      <==>   (x - 0,6 )*(x³ + 0,6) = 0

Und siehe da, wir haben ein zweites Minimum, das liegt bei

( 3. Wurzel ziehen )      m = -0,843432 !!!!

Uff, das wäre geschafft, weiteres Vorgehen wie schon vorhin beschrieben: Zugehörige Länge ausrechnen, ist zu klein für unsere Leiter, Leiter hochschieben, jetzt passt es.

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Zunächst solltest du das ganze mal auf zwei Dimensionen runterbrechen, also die Projektion der Leiter "auf den Fußboden" anschauen. Der Schatten ist nicht hingezeichnet, weil's schöner aussieht ;-)

Dann mal' dir das ganze auf und kennzeichne alle Strecken, die du kennst, sodass du dir überlegen kannst, welche Länge die Leiter maximal haben darf bei der gegebenen Breite.

Wenn du nicht weiterkommst, kannst du dich auch hier inspirieren lassen, da werden einfachere Leiter-Aufgaben und auch eine ganz ähnliche behandelt. Aber Achtung: Ist mit Lösungen! Also vorsichtig runterscrollen...

http://www.mathematische-basteleien.de/leiter.htm

Ist aber echt nicht ohne, die Aufgabe, die du da lösen sollst!


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