Lösungmenge von Bruchgleichung bestimmen?

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3 Antworten

Bruchgleichung mit Betrag im Nenner und dann noch als Ungleichung. Das ist alles etwas unappetlich und macht eine Menge Arbeit.

Zunächst einmal solltest Du die Betragsstriche auflösen. Das gelingt durch eine Fallunterscheidung.

|x+7| = x+7    für   alle x >= -7  

|x+7| = -(x+7)   für alle x < -7

Damit musst Du zwei Gleichungen getrennt untersuchen. Die Auflösung der fälligen p-q-Formel muss ich wohl nicht erklären. Aber die p-q-Formeln haben zwei Lösungen und im anderen Fall gar keine wie sich herausstellen wird. Du erhälst folgende Stützstellen

-7  als Polstelle

-4  und +5

Danach musst Du mühsam das Gebiet von -unendlich bis -7, dann von -7 bis -4 und von - 4 bis 5  und noch von 5 bis +unendlich absuchen, ob die "grösser 3"-Bedingung erfüllt ist. Billiger ist das nicht zu haben.

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(x+1)² / |x+7| >3

Substitution :

z = x + 1, deshalb ist x = z - 1

z ^ 2 > 3 * |z + 6|


z ^ 2 - 3 * |z + 6| > 0

Nun entfernen wir die Betragszeichen und setzen das = 0

z ^ 2 - 3 * z - 18 = 0

pq - Formel anwenden :

z_1 = -3

z_2 = 6


Nun die Probe machen :

z ^ 2 > 3 * |z + 6|

Das ist oberflächlich gesehen scheinbar erst mal erfüllt für z < - 3 oder z > 6

Jetzt kommt wegen der Betragsungleichung noch eine Besonderheit hinzu, man muss den Punkt finden, an dem der Betragsterm = 0 wird :

|z + 6| = 0

Das ist für z = -6 der Fall.

Es gilt also :

-6 < z < -3 oder z > 6

Nun die Rücksubstitution durchführen, wegen x = z - 1 gilt also :

-7 < x < -4 oder x > 5

Das ist dein Endergebnis.

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Kommentar von ProfFrink
06.07.2017, 12:02

x < -7 gehört auch noch dazu; nur eben x=-7 nicht.

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Binomische Formel ausrechnen, nach x auflösen und fertig?

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Kommentar von marcus1994
05.07.2017, 21:12

(x+1)² = x ² +2x + 1
Wenn ich hier die p,q Formel anwende, erhalte ich jedoch keine Lösung, da das eine Nullwurzel ergibt. Daher frage ich :)

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