Lösung (Potenz)?

4 Antworten

Hier kann man mit Substitution arbeiten :

((2a+3b)^(-5)) / ((4a^2-9b^2)^(-5))

u = 2 * a

v = 3 * b

Dann erhält man :

(u + v) ^ (-5) / ((u ^ 2 - v ^ 2) ^ (- 5))

Gesetzmäßigkeiten :

a ^ (-n) = 1 / (a ^ n)

1 / (a ^ (-n)) = a ^ n

(a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n

Deshalb :

(u + v) ^ (-5) / ((u ^ 2 - v ^ 2) ^ (- 5)) = (u ^ 2 - v ^ 2) ^ 5 / (u + v) ^ 5

Wegen der dritten binomischen Formel und dem Gesetz (a * b) ^ n = a ^ n * b ^ n gilt für den Zähler :

(u ^ 2 - v ^ 2) ^ 5  = (u + v) ^ 5 * (u - v) ^ 5

Nun kann man den Zähler gegen den Nenner kürzen und erhält :

(u ^ 2 - v ^ 2) ^ 5 / (u + v) ^ 5 = ((u + v) ^ 5 * (u - v) ^ 5) / ((u + v) ^ 5)

(u ^ 2 - v ^ 2) ^ 5 / (u + v) ^ 5  = (u - v) ^ 5

Rücksubstitution, also u und v wieder ersetzen :

(2 * a - 3 * b) ^ 5

Also :

((2a+3b)^(-5)) / ((4a^2-9b^2)^(-5)) = (2 * a - 3 * b) ^ 5

So schnell wie möglich mit Rechenweg. Das mag ich gerne ohne Eigenleistung von anderen fordern.

Dennoch:

Sieh die die Summanden in der Klammer im Nenner an. Sie sind jeweils das Quadrat der Summanden in der Klammer im Zähler.

Hier bietet sich die dritte Binomische Formel an.

Das Ganze geht mit ein wenig Übung sogar im Kopf und deine Lösung ist ja nicht so falsch. .

Ich blicke da leider gar nicht durch, wie ich dort die 3. binomische Formel anwenden soll. Könntest du das bitte erläutern? :/

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   (2a + 3b)‾⁵/(4a² - 9b²)‾⁵
= ((2a + 3b)/(4a² - 9b²))‾⁵
= ((4a² - 9b²)/(2a + 3b))⁵

Jetzt 3. Binomische Formel auf den Zähler anwenden:
4a² - 9b² = (2a+3b)(2a-3b)
So kürzt sich der Nenner weg :-)

Übrig bleibt: (2a - 3b)⁵

Vielen dank, sehr verständlich, aber wieso hast du den Bruch überhaupt umgekehrt? Wie soll ich darauf kommen, den Exponeten '-5' zu '5' zu machen

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@MillionGamer

Die Bedeutung von negativen Exponenten ist doch gerade, dass der Kehrwert gebildet wird.
x‾² = 1/(x²)
1/(x‾²) = x²

Einen Term mit Bruch und negativem Exponenten kann man deshalb vereinfachen, indem man den Bruch umkehrt und den Exponenten positiv macht.

Du könntest diesen Schritt weglassen, dann hättest du:
1/(2a - 3b)‾⁵



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@Rubezahl2000

Also bei solchen Aufgaben grundsätzlich den Exponenten positiv machen? Ist das immer sinnvoll?

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@MillionGamer

Das kommt drauf an ;-)
Wenn man dadurch den Bruch weg bekommt, dann ist es sehr sinnvoll. Alles was zu einer Vereinfachung führt, ist sinnvoll.
(2a-3b)⁵ sieht doch viel einfacher aus als 1/(2a-3b)‾⁵ , oder?

Aber wenn man einen Term hat wie z.B. (x+y)‾² dann ist es egal, ob man das so lässt, oder statt dessen 1/(x+y)² schreibt.

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