Lösung gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion?

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2 Antworten

Ich betrachte das diskrete Problem. Es sei X, Y diskrete ZV mit jeweils endlich vielen Werten. Seien

A[i,j] := ℙ[X=i | Y=j]
B[j,i] := ℙ[Y=j | X=i]
x[i] := ℙ[X=i]
y[j] := ℙ[Y=j]
C[i,j] := ℙ[X=i & Y=j]

für alle i, j. Bekannt sind die Matrizen A, B. Es ist die Matrix C zu bestimmen. Es gilt nun (¶):

C[i,j] = ℙ[X=i | Y=j]·ℙ[Y=j] = A[i,j]·y[j]  und
C[i,j] = ℙ[Y=j | X=i]·ℙ[X=i] = B[j,i]·x[i]

für alle i, j. Es bleibt also nur, die Vektoren x und y zu bestimmen. Man beobachte:

x[i] = ℙ[X=i]
= ∑ ℙ[X=i | Y=j]·ℙ[Y=j] Summe über alle j
= ∑ A[i,j]·y[j] Summe über alle j
= (Ay)[i]
y[j] = ℙ[Y=j]
= ∑ ℙ[Y=j | X=i]·ℙ[X=i] Summe über alle i
= ∑ B[j,i]·x[i] Summe über alle i
= (Bx)[j]

In Matrixschreibweise:

x=Ay und y=Bx.

Daraus lässt sich erschließen

x = A(Bx) = ABx, also (AB-I)x=0
y = B(Ay) = BAy, also (BA-I)y=0

Daher sind die Lösungen zu den absoluten einseitigen Verteilungen von X bzw. Y gegeben durch Nullvektoren von AB–I bzw. BA–I. Es ist einfach zu beweisen, dass es für beide Matrizen mindestens einen Nullvektor gibt und damit unendlich viele davon. Wir suchen aber Vektoren, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen bilden, somit darf der Vektor nur Komponenten aus [0, 1] besitzen, deren Summe 1 ergibt. Dies führt dazu, dass nur weniger Lösung in Betracht kommen. (Es bleibt dennoch festzustellen, ob es exakt eine Lösung gibt.)

Damit habe ich eine Methode, die absolute Verteilungen von den Zufallsvariablen, X und Y, zu bestimmen und somit (siehe ¶) die gemeinsame Verteilung der Variablen.

Ich bräuchte ein Bsp. mit Zahlen, um dies zu demonstrieren…

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Kommentar von aseretheik
10.10.2016, 05:36

Danke für die schnelle Antwort.

Also für ein Zahlenbeispiel, war die Tabelle in der Aufgabe so gegeben:

für Y:    0      1      2        3

py(Y): 0.2   0.5   0.15   0.15

für X:      0      1       2

px(X):   0.3    0.4    0.3

daraus kann man die Randverteilungen ja berechnen.

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Kommentar von kreisfoermig
10.10.2016, 08:00

Daraus kann man die Randverteilung nicht berechnen. Dieses Problem ist ein anderes.

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P. S: Die im Bild dargestellte Information (ich füge ein ergänztes Bild bei) lässt keine klare Aussage zu. Im Grunde (das kann man überprüfen) passt jede Verteilung von Y dazu. Es gibt also einen unendlichen (2-dimensionalen) Raum von gemeinsamen W-keitsverteilungen in diesem Beispiel.

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