Lösung einer Differentialgleichung?

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2 Antworten

Ich habe meine Antwort als Bilddateien angehängt, um die Formeln besser darstellen zu können.

ẋ  steht für dx/dt mit der physikalischen Bedeutung, dass die zeitliche Änderung von x gemeint ist. Somit hast Du es mit folgender Differentialgleichung 1. Ordnung zu tun

dx/dt = 1 + x²

Die Lösung gelingt mit der Separation der Variablen. Das heisst gleichnamige Variablen werden links- und rechtsseitig des Gleichheitszeichens separiert. In diesem Fall gelingt das mit der Multiplikation der Gleichung mit dt und mit der Division der Gleichung mit
(1 + x²)

dx/(1 + x²)  = dt

Nun wird diese Gleichung integriert. Man sucht auf beiden Seiten die Stammfunktion. Auf der rechten Gleichungsseite entsteht auf diese Weise die Stammfunktion t. Bezüglich der linken Seite bitte ich Dich selbst nachzuschauen. Und das es sich um ein unbestimmtes Integral handelt darf die Integrationskonstante nicht vergessen werden. Man gewinnt eine Lösungsvielfacht nach dem Format

x = x(t) + x0

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