Wie kann man die Lösung der Gleichungen bestimmen?

...komplette Frage anzeigen Aufgabe  - (Mathe, Mathematik, Universität)

5 Antworten

0=-1*z⁸-16*z⁴-256 Substitution x=z⁴ ergibt

0=-1*x²-16*x-256 Lösung mit meinen Graphikrechner (GTR,Casio)

x1.=-8 + i 13,85... und x2=-8-i 13,85..

"reelle Nullstellen gibt es nicht.Der Graph schneidet an keiner Stelle die x-Achse

Graph sieht aus ,wie eine nach oben offene Parabel,di parallel zur y-Achse liegt.

Nullstellenermittlung mit der p-q-Formel und siehe auch die "Lösbarkeitsregeln" im Mathe-Formelbuch

0=e^(x/5)-2*x-5 Lösung mit meinen GTR ,Nullstelle bei x=-2,176...

In Handarbeit ist die Aufgabe so nicht lösbar,weil das x einmal im Exponeten steht und einmal nicht.

1. Die Nullstelle durch probieren angnähert ermitteln.Gibt es einen Vorzeichenwechsel zwischen 2 x-Werten,so ist dazwischen eine Nullstelle.

2. Den angenäherten Wert durch die Formeln von "Newton" oder "Regula falsi"

       verbesserne.

Tangentenverfahren nach Newton  x2=x1-f(x1)/f´(x1)

x2 ist der verbesserte Wert,den man durch den geschätzten Wert x1 erhält.

Das Verfahren wird so oft wiederholt,bis die Genauigkeit ausreicht.

f´/x1) ist die erste Ableitung der Funktion f(x)

Sehnenverfahren nach Regula falsi  x3=x2-(x2-x1)/(y2-y1)*y2  mit x2>x1

Die Werte x1 und x2 werden durch probieren ermittelt.Die Nullstelle liegt zwischen x1 und x2. x3 ist der verbesserte Wert.

Auch dieses Verfahren wird so oft durchgeführt,bis die Genauigkeit ausreicht.

Dein Rechner hat die zweite Nullstelle bei x=18,747 unterschlagen.

Herzliche Grüße,

Willy

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@Willy1729

Oh danke! Habe den Rechenbereich nur bis x=10 eingestellt.

Ich war zu faul ,um den größeren x-Bereich zu checken.

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Bei der zweiten Aufgabe ist nur nach der Anzahl der Nullstellen gefragt, nicht nach den Nullstellen selbst.

Die linke Seite (e-Funktion) geht durch den Punkt (0/1).

Die rechte seite ist eine Gerade, die die y-Achse bei 5 - also oberhalb von der e-Funktion - schneidet.

Da die Gerade immer die Steigung 2 hat, die Steigung der e-Funktion aber streng monoton ansteigt, muß es 2 Nullstellen geben → damit ist die Frage beantwortet!

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@Zwieferl

Da steht :"Bestimmen sie die reellen Lösungen der Gleichung".

Hier liegt 1. Gleichung vor und nicht 2 Gleichungen.

also 1 Gleichung e^(x/5)=2*x+5

also 0=e^(x/5)-2*x-5

"reelle Lösungen"="Nullstellen"

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Hallo,

die zweite Aufgabe läßt sich nicht auf triviale Art lösen.

Du mußt also entweder zu einem Näherungsverfahren greifen oder 

die Gleichung e^(x/5)=2x+5 so umformen, daß Du w*e^w=k erhältst.

Dazu gibt es nämlich eine Umkehrfunktion, die Lambert-W-Funktion oder Omega-Funktion, so daß gilt: W(k)=w

Leider findest Du diese Funktion auf fast keinem Rechner. Im Internet aber wird man fündig.

Ich selbst habe ein Matheprogramm auf dem Computer, das Lambert-W beherrscht.

Das Problem ist die Umformung.

Zunächst ersetzt Du x/5 durch u, so daß x=5u ist und erhältst:

e^u=2*5u+5=10u+5

Nun klammerst Du auf der rechten Seite die 10 aus:

e^u=10*(u+0,5)

Wenn Du nun beide Seiten mit e^0,5 multiplzierst, bekommst Du:

e^u*e^0,5=10*e^0,5*(u+0,5)

Da laut Potenzregeln a^b+a^c=a^(b+c):

e^(u+0,5)=10*e^0,5*(u+0,5)

Nun ersetzt Du u+0,5 durch v, so daß u=v-0,5 und bekommst:

e^v=10*e^0,5*v

Nun beide Seiten mit e^-v multiplizieren:

1=10*e^0,5*v*e^-v

Teile beide Seiten durch 10*e^0,5:

1/(10*e^0,5)=v*e^-v

Multiplikation mit (-1) ergibt:

-1/(10*e^0,5)=-v*e^-v

Nun bist Du am Ziel:

Du hast links einen Ausdruck stehen, in dem es keine Unbekannte mehr gibt, während rechts der Faktor vor e dessen Exponenten entspricht.

Ersetze -v durch w:

-1/(10*e^0,5=w*e^w

Die linke Seite erledigt der Taschenrechner:

-1/(10*e^0,5)=-0,06065306597

Also:

w*e^w=-0,06065306597

Dann ist w=lam (-0,06065306597

Es gibt zwei Werte:

w1=-0,06470754

w2=-4,24935147

Da w=-v, erhältst Du die beiden Werte für v:

v1=0,06470754

v2=4,24935147

Da u=v-0,5:

u1=-0,43529246

u2=3,74935147

x=5u,

daher:

x1=-2,1764623

x2=18,74675735, die beiden endgültigen Lösungen.

Herzliche Grüße,

Willy

In der Aufgabe geht es aber nur darum, zu zeigen, wieviele reelle Lösungen die Gleichung hat.

Die reellen Lösungen entsprechen den Nullstellen der Funktion
f(x)=e^(0,2x)-2x-5

Es handelt sich um eine stetige Funktion; es gibt keine Definitionslücken oder Asymptoten oder Polstellen.

Du stellst zunächst fest, wieviel Extremstellen da sind, indem Du die Ableitung f'(x)=0,2*e^(0,2x)-2 auf Null setzt.

0,2*e^(0,2x)=2
e^(0,2x)=10

0,2x=ln(10)

x=5*ln(10)=11,51292546

Es gibt also nur eine Extremstelle.

Die zweite Ableitung verrät uns, ob es sich um ein Maximum oder Minimum handelt:

f''(x)=0,04*e^(0,2x)

f''(11,51292546)=0,4

Das ist eine positive Zahl, es handelt sich also um ein Minimum.

Liegt das Minimum unterhalb oder oberhalb der x-Achse?

f(11,51292546)=-18,02585093, sie liegt also unterhalb.

Wendestellen gibt es nicht, weitere Extrema auch nicht. Die Funktion verläuft also von unendlich bis unendlich und muß dabei zweimal die x-Achse überqueren, um zum Minimum und wieder zurück zu kommen.

Somit gibt es zwei Nullstellen und damit zwei reelle Lösungen.

Willy

1

z ^ 8 = - 16 * z ^ 4 - 256

z ^ 8 + 16 * z ^ 4 = - 256

x = z ^ 4

x ^ 2 + 16 * x + 256 = 0

pq-Formel :

x _ 1 = - 8 * (1 + i * √(3))

x _ 2 = - 8 * (1 - i * √(3))

Rücksubstitution :

Weil x = z ^ 4 ist, deshalb ist z = √(√(x))

Du musst also aus x _ 1 und und x _ 2 jeweils die negative und positive Wurzel ziehen und aus diesen Ergebnissen anschließend noch mal die negative und positive Wurzel ziehen, dann erhältst du insgesamt 8 Lösungen.


Das ist aber nicht die normale pq formel, oder ? Wie kommst du auf diesen Teil ?
x _ 1 = - 8 * (1 + i * √(3))

x _ 2 = - 8 * (1 - i * √(3))

0
@Gutefrage9595

x²+16x+256=0

p=16, q=256

-p/2=-8

(-p/2)²=64

Also:

x1;2=-8+/-Wurzel(64-256)=-8+/-Wurzel (-192)

-192=(-1)*192)

Die Wurzel aus -1 ist i.

Wurzel (-192)=i*Wurzel (192)

So bekommst Du die beiden Lösungen:

x1=-8+i*Wurzel (192)

x2=-8-i*Wurzel (192)

Da 192=3*64=3*8², kannst Du die 8 aus der Wurzel holen:

x1;2=-8+/-l*8*Wurzel (3)

Nun noch -8 ausklammern:

x1;2=-8*(1-/+i*Wurzel (3))

Willy

1

also :D eig. wie gehabt...^^ 256 auf die andere seite und dann auflösen..vil auchausklammer etc... :D

hab das ganze mal mit Matlab gemacht und hier kannst du kontrollieren: jede zeile ist natürlich ein z... hab es als array^^

1)

  -1.7321 + 1.0000i
-1.7321 - 1.0000i
-1.0000 + 1.7321i
-1.0000 - 1.7321i
1.0000 + 1.7321i
1.0000 - 1.7321i
1.7321 + 1.0000i
1.7321 - 1.0000i
bzw. in Bruch:

-1351/780 + 1i
-1351/780 - 1i
-1 + 1351/780i
-1 - 1351/780i
1 + 1351/780i
1 - 1351/780i
1351/780 + 1i
1351/780 - 1i

2)

-2,176462
18,746757

   Zunächst mache ich Aufg 3A)

        z  ^  8  -  p  z  ^  4  +  q  =  0            (  1.1a  )

        p  =  (  -  16  )  ;  q  =  256            (  1.1b  )

    Ich habe eine spezielle Mitternachtsformel ( MF ) entwickelt, die ich als " Wurzelwurzeln "  ( W W ) bezeichne. Der erste Schritt lässt sich auch bei mir ganz konventionell an; mit der Substitution

     u  :=  z  ^  4         (  1.2  )

      wird ( 1.1a ) eine gewöhnliche quadratische Gleichung.

           u  ²  -  p  u  +  q  =  0     (  1.3  )

   Vieta das geschmähte Stiefkind; ich schick erst mal ab und geh essen, weil dieser Editopr so instabil ist.

   Es kommt aber noch eine Ergänzung - versprochen. Aktion Emil; beide Aufgaben intressieren mich persönlich.

  Aktion Emil

   " Gäben Sie mir einen Funkch; es intressiert mich persönlich. "

   In ( 1.1ab ) lautet Vieta p

     p  =  u1  +  u2  =  (  -  16  )       (  2.1a  )

    Mein Trick; Substitution  ( 1.2 ) mache ich in ( 2.1a ) rückgängig.

     p  =  z1  ^  4  +  z2  ^  4  =  (  -  16  )     (  2.1b  )

   Analog hast du Vieta q

    q  =  u1  u2  =  256   |  sqr      (  2.2a  )

    Während du ja in der üblichen MF quadrierst, ziehe ich bereits das erste Mal die Wurzel:

    v  ²  :=  q      (  2.2b  )

     v  =  z1  ²  z2  ²  =  16     (  2.2c  )

   Dann ist aber - höchst ungewöhnlich für eine MF - ( 2.2c ) die quadratische Ergänzung von ( 2.1b ) ; siehst du das?

   (  z1  ²  +  z2  ²  )  ²  =  p  +  2  v  =  -  16  +  2  *  16  =  16   |  sqr     (  2.3a  )

    z1  ²  +  z2  ²  =  4  =  Realteil      (  2.3b  )

   (  z1  ²  -  z2  ²  )  ²  =  p  -  2  v  =  -  3 * 16        |  sqr         (  2.4a  )

    z1  ²  -  z2  ²  =  4  i  sqr  (  3  )  =  Imagteil          (  2.4b  )

   Zu lösen bleibt das LGS  ( 2.3b;2.4b )

      z1  ²  =  2  [  1  +  i  sqr  (  3  )  ]         (  2.5a  )

       z2  ²  =  z1 *  ²       (  2.5b  )

      z3;4  ²  =  -  z1;2  ²      (  2.5c  )

    Was ist nun der Vorteil meiner Vorgehensweise gegenüber der herkömmlichen Metode? Die MF ermittelt aus ( 1.1ab ) die " Wurzel " z ^ 4 ; z ² bezeichne ich als " Wurzel aus der Wurzel " oder kurz W W .  Uns intressiert aber nur die W W ; den Zwischenschritt z ^ 4 überspringe ich einfach.

   Bevor wir nun noch die Wurzel aus z ²  ziehen, noch ein paar Worte zum Satz von Vieta; was ist die Lösung ( 1.2 ) von ( 1.1ab ) ?

    p  =  (  -  16  )  =  2  Re  (  u0  )  ===>  Re  (  u0  )  =  (  -  8  )       (  2.6a  )

    q  =  256  =  |  u0  |  ²  ===>  |  u0  |  =  16         (  2.6b  )

   Dann ist also | z | ^  4 = 16 ===> | z | ² = 4 in Übereinstimmung mit  ( 2.5a )

   Was ist zu tun? Wir substituieren abermals

     u  :=  z  ²       (  2.7  )

     Aus dem Satz von Vieta lesen wir dann in ( 2.5a ) die Koeffizienten jenes Polynoms ab, dessen Wurzeln u und u * sind in ( 2.7 )

     u  ²  -  p  u  +  q  =  0      (  2.8a  )

       p  =  2  Re  (  u0  )  =  4     (  2.8b  )

      q  =  |  u0  |  ²  =  16     (  2.8c  )

      u  ²  -  4  u  +  16  =  0      (  2.8d  )

     ( 2.8d ) ist die Bestimmungsgleichung für z ² ; und z ist ihre W W .  Übung macht den Meister.

      v  =  4      (  2.9a  )

     (  z2  +  z1  )  ²  =  p  +  2  v  =  3  *  4       (  2.9b  )

       z2  +  z1  =  2  sqr  (  3  )  =  Realteil      (  2.9c  )

     (  z2  -  z1  )  ²  =  p  -  2  v  =  (  -  4  )        (  2.10a  )

       z2  -  z1  =  2  i  =  Imagteil       (  2.10b  )

     z1  =  sqr  (  3  )  +  i       (  2.11a  )

      z2  =  z1 *     (  2.11b  )

     z3;4  =  -  z1;2     (  2.11c  )

     z5;6  =  +/-  i  z1

     z7;8  =  +/-  i  z2      (  2.11d  )

    Ich mache auch noch die 3B)

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