Linienfaktor und Polynomdarstellung mit Nullstellen bestimmen.

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3 Antworten

So wie es sich hier darstellt, ist es eine Kurve, die vermutlich über gar keine Vorzahl für x³ verfügt. Denn die drei Nullstellen verweisen auf eine Funktion 3. Grades, in diesem Fall eine zweipunktige (x1 = x2 = 0) und x3 = 2. Ein Koeffizient für a ist (vermutlich) nicht gegeben, denn an > 0 bedeutet wohl, dass das n ein Index ist und die vorkommenden a1, a2, a3, a4 > 0 sein sollen. Man kann eine Funktion ja schreiben
f(x) = ax³ + bx² + cx + d oder
f(x) = a1 x³ + a2 x² + a3 x + a4.

Ich denke, Letzteres ist gemeint. Nur kann man hier nur sehr schwer Indizes produzieren mit diesem Editor.

Die Nullstellen implizieren
f(x) = x² (x - 2)

Ausmultpliziert:
f (x) = x³ - 2x²

Damit sind die vorkommenden ai > 0: a1 = 1; a2 = 2

Wenn du ableiten kannst, erkennst du, dass die 1. Ableitung leicht zu bilden ist. Ich schreibe sie gleich mal als Gleichung für die Extremwerte hin:

3x² - 4x = 0
x (3x - 4) = 0

Damit haben wir einen Extremwert bei bei 0 (y ist dort auch = 0. Der ist an der zweipunktigen Nullstelle, was zu erwarten war. Der andere Extremwert liegt bei x = 4/3. Das ist der aus der Klammer mit y = -1,2
wenn ich mich nicht verrechnet habe.

Das heißt die Kurve kommt von unten links hoch aus dem 3. Quadranten, hat ein Maximum genau beim Ursprung (0|0), geht dann hinunter in den 4. Quadranten bis zum Minimum (1,33|-1,2), sodann wieder nach oben durch (2|0) und weiter ansteigend im 1. Quadranten gen unendlich.


Übrigens heißt es *Linearfaktor).

Meiner Meinung nach ist kein konkreter Koeffizient gegeben; trotzdem komme ich auf die gleichen Aussagen (bis auf den konkreten y-Wert des Tiefpunkts), und es gibt noch einige weitere; siehe.mein Vorschlag).

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@psychironiker

Es gibt bei mir auch keine willkürlichen Koeffizienten. Der einzige vorhandene ergibt sich aus der Multiplikation der Nullstellen.
f (x) = x³ - 2x²

Weitere wären willkürlich, es sei denn - wie gesagt - bei einer Kurvenschar.

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@Volens

Ich finde schon einleuchtend, wie du auf "x³ -2x" kommst, störe mich aber an einer Formulierung wie:

"Die Nullstellen implizieren f(x) = x² (x - 2)

Ausmultpliziert: f (x) = x³ - 2x²"

denn beispielsweise

f(x) = 2x³ - 4x² = 2x²(x-2)

hat genau die gleichen Nullstellen; die Nullstellen implizieren die Koeffizienten nur bis auf einen gemeinsamen Faktor ( = Scharparameter).

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Ich stimme Volens in zu, was die x-Werte der Extremwerte angeht, allerdings kann ich die willkürliche Wahl der Koeffizienten nicht nachvollziehen. Ein konkreter Wert eines Koeffizienten ist nicht vorgegeben, sondern nur gesagt, dass der Leitkoeffizien (s.u.) positiv sein soll. Es gibt eine ganze Schar von Funktionen, die Voraussetzungen erfüllen, und nicht nur eine bestimmte; eine Funktion dieser Schar soll willkürlich gewählt beispielhaft skizziert werden.

Auch fehlen noch die (möglichen) Aussagen über

  • den Wendepunkt aller Funktionen der Schar,
  • die Lage von Wendepunkt und Tiefpunkt zur x-Achse und
  • das Symmetrieverhalten aller Funktionen der Schar

Wie bei Volens ausführlich erklärt, ist die gesuchte Funktion eine ganzrationale Funktion dritter Ordnung. Ich klammere den Koeffizienten bei der Potenz höchster Ordnung ( = Leitkoeffizienten) a_ n aus und erhalte die Linearfaktor-Darstellung:

f(x) = a_ n(x - x1)(x -x2)(x - x3) = a_ n(x -0)(x -0)(x -2) = a_ n x²(x -2)

In der Folge schreibe ich einfahch a für a_ n, also:

f(x) = a x² (x-2) = a (x³ -2x²)


Kurvendiskussion:

Wegen a > 0 lässt sich für das Verhalten im Unendlichen sagen:

  • Für x → -∞ ist die Funktion kleiner als jede reelle Zahl (geht gegen -∞) und
  • für x → +∞ ist die Funktion größer als jede reelle Zahl (geht gegen +∞).

Weiter sind

  • f'(x) = a (3x² -4x) = a x (3x -4)
  • f''(x) = a (6x -4) = 2a ( 3x -2)
  • f'''(x) = 6a > 0 für beliebige a > 0

die erste drei Ableitungen. - Mit

  • f'(x) = 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 4/3 und
  • f''(x1) = -4a < 0 , f''(x2) = 4a > 0
  • f(0) = 0, f(4/3) = a (16/9) (-2/3) = -32a/27 < 0

ist (0 | 0) ein Maximum, (4/3 | -32a/27) ein Minimum der Funktion. - Mit

  • f''(x) = 0 ⇒ x = 2/3
  • f'''(x bel.) ≠ 0
  • f(/2/3) = a (4/9) (-4/3) = -16/27 < 0

ist (2/3 | -16a/27) ein Wendepunkt der Funktion.


Für die gefragte Skizze folgt daraus:

  • Von links nach rechts gezeichnet "steigt" die Funktion aus der negative Unendlichkeit "empor" und
  • berührt die x-Achse von unten im Ursprung, der ein Hochpunkt ist.
  • Die x-Werte des Wendpunktes und eines Tiefpunktes teilen die Strecke zwischen dem Ursprung (der doppelte Nullstelle ist) und der zweiten Nullstelle (2 | 0) in drei gleiche Teile (von 0 bis 2/3, von 2/3 bis 4/3 und von 4/3 bis 2).
  • Wendepunkt und Tiefpunkt liegen unterhalb der x-Achse, und zwar ist der Tiefpunkt doppelt so weit von der x-Achse entfernt wie der Wendepunkt (wie weit, lässt sich nicht sagen, denn es hängt von a ab; für die Skizze kannst du z.B. willkürlich a = 27/8 > 0 wählen, um auf einfach zu zeichnende y-Werte zu kommen).
  • Rechts von (2 | 0) (und nur dort) ist die Funktion positiv und "entschwindet" in die positive Unendlichkeit.
  • Wie alle ganzrationalen Funktionen dritter Ordnung ist die Funktion punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt (weil die Ableitung eine Parabel und jene achsensymmetrisch zu einer y-Parallele durch ihren Scheitel ist; der Zusammenhang lässt sich allgemein nachweisen).

Also kannst du trotz der spärlichen Aussagen der Voraussetzung den Funktionsgraphen recht genau skizzieren. Die Graphen aller Funktionen der Voraussetzung unterscheiden sich nur durch einen Streckfaktor voneinander.

Ich hatte zunächst auch an eine Kurvenschar gedacht, das dann aber wieder verworfen, weil die zumindest Anforderung einer Zeichnung für mich dagegen spricht. Aber Mathematik ist flexibel. Keiner von uns weiß, wie die Aufgabenstellung genau war. Für uns kommt die Aufgabe in der indirekten Rede daher. Mir scheint dabei der Wunsch nach Beschreibung nur einer Funktion plausibler.

Dennoch sind andere Betrachtungen von größtem Wert, weil sie für auch nur leicht veränderte Aufgabenstellungen die richtigen sein können. Und auch diesen muss man begegnen können, wenn sie kommen.

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Ist die Funktion gegeben?

Es sind Ganzrationale Funktionen falls du das meinst.

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@Crustifire

Aso, sry verlesen, dachte es wäre auf eine spezielle Aufgabe bezogen...Also erkläre ich es Mal so: Du hast ja die Nullstellen gegeben, daraus kannst du ableiten, dass die linearfaktordarstellung wahrscheinlich wie folgt aussieht: (Sofern du mit n=3 einfach nur 3 Nullstellen meinst).

Polynomdarstellung bedeutet folgende Form: f(x)= ax2 + bx+c c ist der Schnittpunkt mit der Y-Achse bei X=0 Hm aber wenn du die Funktionsgleichungen gegeben hast, dann kann es sich ja nur um Umformungen handeln...Wenn du die Funktionen nicht gegeben hast und diese auch noch bestimmen musst, dann machst du das mit den gegeben Punkten mit Verfahren wie LGS..

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@Nill94

Sry hatte einen Fehler drin, die Linearfaktordarstellung muss so aussehen: (x-0) * (x-0) * (x-2) ...aber das kommt eben auch drauf an, wie die funktion genau aussieht. Schaue am besten hier nochmal nach: http://de.serlo.org/entity/view/1585

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@Nill94

Also eig musst du dir merken: wenn du annimmst dass eine Funktion die Polynomdarstellung hat (f(x)= ax²+bx+c), dann ist die linearfaktordarstellung so: a (x+1.nullstelle) * (x+2.Nullstelle) usw. Musst nur immer das Vorzeichen der Nullstelle bei der Linearfaktordarstellung wechseln (Xn1=2 bedeutet (x-2) in der L.faktordarstellung, xn2=-5 bedeutet (x+5)

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@Nill94

ich kann dir diesbezüglich nicht ganz folgen deshalb schreib ich jetzt einfach mal hin was ich weis also:

-x1/2 ist der Absolute Nullpunkt

-x3 ist ein zwischenpunkt auf der x Achse

-n bestimmt den Grad der Funktion in diesem Besipiel also eine Funktion 3 Grades

-an bestimmt ob die Funktion positiv oder negativ ist.

oder irre ich mich ich bin mir nicht sicher

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@Crustifire

Ja das stimmt. Damit kannst du feststellen, dass die Linearfaktordarstellung so aussieht: a * (x-0) * (x-0) * (x+2) Sry meine Konzentration ist weg...

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@Nill94

hast du denn überhaupt kein a gegeben? also in form von f(x)=a3x³+a2x²+a1x+c ?

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@Crustifire

Gebs einfach bei Youtube ein, da gibts sehr gute Erklärvideos dazu.

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