Linearfaktorzerlegung?

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7 Antworten

da kannst du die nullstellen gleich ablesen: x=0 und x=4 und x=2 und x=-3

Zum Vorzeichenwechsel: einen Wert rechts (dicht dabei!) und einen links von der Nullstelle einsetzen. Z.B. x=0 : für x=0.1 wird der erste und vierte Faktor positiv, die beiden anderen negativ, also Produkt positiv. Für x=-0.1 erhält man das gleiche Resultat, also kein Vorzeichenwechsel. Der Hintergrund ist: diese Funktion ist stetig, sie macht z.B. keine "Sprünge". (Für die Schule müsste das reichen.)

f.x= Null...

Wann ist das erfüllt? Naja, wenn die rechte Seite auch Null ist.Fangen wir an: das sind vier Faktoren, wenn einer davon Nul ist, ist es egal, wie die anderen Faktoren aussehen. Das Ergebnis auf der rechten Seite ist dann immer Null.

Wann ist der Faktor (x+3) Null? wenn X den Wert minus 3 annimmt.
Wann ist der Faktor (x-2 ) Null? wenn X den Wert plus 2 annimmt.
Wann ist der Faktor (x-4 ) Null? wenn X den Wert plus 4 annimmt.
Wann ist der Faktor x² Null? wenn X den Wert null annimmt.

Du hast Glück, man braucht nichts zerlegen, es steht praktisch schon sichtbar da!Die vier Nullstellen sind also 0, +4, +2, -3. Falls Du meinst, man müsste erst alles ausmultiplizieren, dann hast Du viel Arbeit und wirst vermutlich niemald drauf kommen. Nimm das Geschenk dieser Einfachheit an und erfreue Dich, dass es so leicht geht!

Sobald eine Klammer = 0 ist, ist das gesamte Ergebnis 0! In diesem Beispiel ist die Polynomdivision nicht mehr nötig, weil das schon Linearfaktorzerlegt ist!

Und wenn ich jetzt bei x², dem ersten Faktor, sehen möchte, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet, was setze ich da genau ein? 0,1 und -0,1? Wie sieht das dann im Term aus?

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@luniquiera

Da das Quadrat einer Zahl x immer positiv ist, wird in einer genügend kleinen Umgebung um die Stelle x = 0 kein Vorzeichenwechsel von f ( x ) stattfinden.

( - 0,1 ) ² = 0,01 = ( 0,1 ) ²

(Die Umgebung von x ist jedenfalls dann klein genug, wenn sich in ihr keine weitere Nullstelle von f ( x ) befindet.)

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die Nullstellen kann man direkt ablesen, es sind alle die Zahlen, für die der Term 0 wird.

also: x=0: 4: 2: -3

Ich würd das ganz easy machen. Du hast ein Produkt, das aus 4 Faktoren besteht. Für die Nullstellen gilt: f(x)=0. Das heißt, irgendein Faktor davon muss 0 ergeben, damit das gesamte Ergebnis stimmt.

Also:

x²=0 v (x-4)=0 v (x-2)=0 v (x+3)=0

Und das wiederum kannst du alles nacheinander mit einem Blick ausrechnen!

Nullstellen sind also:

x=0, x=4, x=2 und x=(-3)

Und wenn ich jetzt bei x², dem ersten Faktor, sehen möchte, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet, was setze ich da genau ein? 0,1 und -0,1? Wie sieht das dann im Term aus?

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@luniquiera

Ja, das würd ich so machen. Also einfach in die gesamte Gleichung, die du gegeben hast, 0,1 und -0,1 einsetzen, dann siehst du es ja, ob da positive oder negative Zahlen rauskommen ;)

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@unending

Nein, so ist das nicht gedacht. Das funktioniert zwar, ist aber viel zu kompliziert. Man verwendet statt dessen die Vielfachheit der Nullstelle: Wenn der Faktor nur einmal vorkommt (also hier (x-4), (x-2), (x+3)), dann nennt man die Nullstelle "einfach" und es gibt an der entsprechenden Stelle (4, 2, -3) jeweils einen Vorzeichenwechsel. Kommt der Faktor doppelt vor (x² ist ja nur eine Kurzschreibweise für x*x), dann ist es eine doppelte Nullstelle, und dort gibt es keinen Vorzeichenwechsel! Also nicht wundern, wenn in der nächsten Prüfung die Zeit nicht reicht, weil Du mit dem Tippen im Taschenrechner nicht nachkommst... Leider wissen das anscheinend auch manche Mathematiklehrer nicht.

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@Elb77

Okay? Nur, wenn ich das so bei mir in einer Klausur schreiben würde, glaub ich kaum, dass meine Lehrerin mir das so einfach durchgehen lassen würde. Sie würde dann sage: "Warum?" oder "Beweise!" oder "Herleitung!". Und bevor ich dann eine Begründung schreibe, kann ich wahrscheinlich bei so einfachen Funktionen eher mal schnell die Werte ausrechnen.

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Das ist doch schon zerlegt. Und die Nullstellen lassen sich direkt ablesen.

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