Lineares GS mit zusätzlicher Variable?

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7 Antworten

I.) x + y + z = 3

II.) 3 * x + 5 * y + z = 9

Ia.) z = 3 - x - y

IIa.) z = 9 - 3 * x - 5 * y

Ia.) und IIa.) gleichsetzen -->

3 - x - y = 9 - 3 * x - 5 * y

Nach x auflösen -->

2 * x = 6 - 4 * y | : 2

x = 3 - 2 * y

In Ia.) einsetzen -->

Ia.) z = 3- (3 - 2 * y) - y

z = y

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------2

III.) x + 3y + z = A² - 4A +6

IV.) 5x + 6y + Az = 15

Die Ergebnisse von oben einsetzen -->

IIIa.) 3 - 2 * y + 3 * y + y = A² - 4 * A + 6

IIIa.) 2 * y = A² - 4 * A + 3

IIIa) y = (1 / 2) * A² - 2 * A + (3 / 2)

IVa.) 5 * (3 - 2 * y) + 6 * y + A * y = 15

IVa.) 15 - 10 * y + 6 * y + A * y = 15

IVa.) nach A auflösen -->

IVa.) -4 * y + A * y = 0

IVa.) -4 + A = 0

IVa.) A = 4

IVa.) in IIIa.) einsetzen -->

IIIa) y = (1 / 2) * A² - 2 * A + (3 / 2)

IIIa.) y = (1 / 2) * 4² - 2 * 4 + (3 / 2)

IIIa.) y = 3 / 2

Daraus folgt (siehe oben) wegen z = y dass z = 3 / 2 ist.

Aus x = 3 - 2 * y folgt x = 0

Endergebnis -->

x = 0

y = 3 / 2

z = 3 / 2

A = 4

Probe -->


x + y + z = 3    
3x + 5y + z = 9
2x + 3y + z = A² - 4A +6
5x + 6y + Az = 15



0 + 3 / 2 + 3 / 2 = 3 Wahr !

3 * 0  + 5 * 3 / 2 + 3 / 2 = 9 Wahr !

2 * 0 + 3 * 3 / 2 + 3 / 2 = 16 - 16 + 6 Wahr !

5 * 0 + 6 * 3 / 2 + 4 * 3 / 2 = 15 Wahr !

Die Probe stimmt also.

Fazit -->

x = 0 und y = 3 / 2 und z = 3 / 2 und A = 4


Anmerkung -->

1.) Das ganze war ziemlich improvisiert von mir, ich kann nicht garantieren, dass es immer auf diese Art und Weise klappt.

2.) Ich kann nicht dafür garantieren, dass es die einzige mögliche Lösung ist und es nicht noch andere mögliche Lösungen gibt.

3.) Bei sowas am besten am Ende immer eine Probe machen, ob auch alle Gleichungen erfüllt werden.

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Kommentar von precursor
14.08.2016, 05:30

In habe jetzt mal WolframAlpha nach dem Ganzen gefragt -->

http://goo.gl/WGJQKY

Wolfram Alpha zeigt, dass man x variieren kann, also dass x frei wählbar ist.

Aus -->

z = y

x = 3 - 2 * y also y = (3 - x) / 2

A = 4

(siehe oben)

folgt mit frei wählbarem x folgendes -->

y = (3 - x) / 2

Wegen z = y also z = (3 - x) / 2

A = 4

Das hat also in der Tat unendlich viele Lösungen, je nach dem was man für x wählt.

Meine ursprüngliche Lösung von oben stellt also nur eine einzige mögliche Lösung dar.

0

Sorry habe gerade kein Blatt parat aber ich versuche es hier so übersichtlich wie möglich:

Es liegen folgende Gleichungen vor:

(1): x + y + z = 3    
(2): 3x + 5y + z = 9    
(3): 2x + 3y + z = x² - 4x +6    
(4): 5x + 6y + xz = 15

Vom Prinzip her bei LGS versucht man die Gleichungen auf die sog Stufenform zu bringen. Bei 3 Unbekannten braucht man für eine exakte Lösung mindestens 3 Gleichungen und "eliminiert" dann mit Hilfe des Additionsverfahrens 2 Unbekannte, bei einer anderen 1 Unbekannte und die letzte lässt man so.
Da hier 4 Gleichungen vorliegen, kann man sich 3 aussuchen und hat die 4. zur Kontrolle.
So viel zur Theorie :D jetzt an die Praxis. Ich nehme mal die Gleichungen (1),(2) und (3)

(1): x + y + z = 3    
(2): 3x + 5y + z = 9    
(3): 2x + 3y + z = x² - 4x +6

Jetzt forme ich die Gleichungen um sodass gleiche unbekannte in der gleichen "Spalte" stehen (ist dann einfacher beim Additionsverfahren)

(1): x + y + z = 3
(2): 3x + 5y + z = 9
(3): x(6-x) + 3y + z = 6

Nun wird mit Hilfe einer Gleichung (1) eine Unbekannte in den beiden anderen "eliminiert"

(1): x + y + z = 3
(2)-(1): 2x + 4y = 6
(3)-(1): x(5-x) + 2y = 3

Nennen wir die neuen Gleichungen nun (2a) und (3a)
Es wird jetzt mit Hilfe von (2a) noch eine Unbekannte bei (3a) "eliminiert"

(1): x + y + z = 3
(2a): 2x + 4y = 6
2•(3a)-(2a): x(8-2x) = 0

Nennen wir die neue Gleichung jetzt (3b)
Jetzt hat man also die Gleichungen:

(1): x + y + z = 3
(2a): 2x + 4y = 6
(3b): x(8-2x) = 0

Jetzt hat man alles was man braucht und kann nach den Unbekannte auflösen:
Man fängt an mit (3b):

(3b): x(8-2x) = 0
x = 4

Man setzt dieses x dann in (2a) ein:

(2a): 2•4 + 4y = 6
y = -1/2

Dann setzt man das x und y in (1) ein:

(1): 4 - 1/2 + z = 3
z = -1/2

Man kann nun zur Probe das x, y und z in (4) einsetzten zur Probe:

(4): 5•4 + 6(-1/2) + 4•(-1/2) = 15
20 - 3 - 2 = 15
15 = 15 --> wahre Aussage

Ich hoffe ich konnte helfen und ich hoffe rechtzeitig!
Was studierst du, wenn ich fragen darf?

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Ich würde zunächst die ersten zwei Gleichungen verwenden, um die Lösungsmenge einzuschränken, dann hast du noch eine freie Variable.

Dann in die 3. oder 4. Gleichung einsetzen (so dass du eine Gleichung mit einer Unbekannten hast) um die genauen Werte zu erhalten.

Zuletzt die Lösung in die noch nicht verwendete Gleichung einsetzen um zu schauen, ob sie passt. Wenn ja, hast du die Lösung. Falls nein, hat das System keine Lösung.

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Benutze die beiden linearen Gleichungen, um zwei Variablen (y und z) zu eliminieren. Danach hast Du zwei nichtlineare Gleichungen mit einer Unbekannten, die evtl sogar eine Lösung haben.

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Da ist nicht eine Variable zusätzlich, sondern eine Gleichung. 3 Variablen, 4 Gleichungen.

Einfach das Einsetzungsverfahren anwenden.

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Additionsverfahren;

z eliminieren aus 1) und 2) ; 1) und 3)

x,y,z berechnen und gucken , ob Gleichung 4 erfüllt wird.

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Ich mache es auf einem Blatt Papier und poste es gleich.

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Kommentar von irgendetwas1234
13.08.2016, 22:10

Das wäre echt super von dir

0
Kommentar von fiahstar45
13.08.2016, 23:21

Sorry habe gerade kein Blatt parat aber ich versuche es hier so übersichtlich wie möglich:

Es liegen folgende Gleichungen vor:

(1): x + y + z = 3    
(2): 3x + 5y + z = 9    
(3): 2x + 3y + z = x² - 4x +6    
(4): 5x + 6y + xz = 15

Vom Prinzip her bei LGS versucht man die Gleichungen auf die sog Stufenform zu bringen. Bei 3 Unbekannten braucht man für eine exakte Lösung mindestens 3 Gleichungen und "eliminiert" dann mit Hilfe des Additionsverfahrens 2 Unbekannte, bei einer anderen 1 Unbekannte und die letzte lässt man so.
Da hier 4 Gleichungen vorliegen, kann man sich 3 aussuchen und hat die 4. zur Kontrolle.
So viel zur Theorie :D jetzt an die Praxis. Ich nehme mal die Gleichungen (1),(2) und (3)

(1): x + y + z = 3    
(2): 3x + 5y + z = 9    
(3): 2x + 3y + z = x² - 4x +6

Jetzt forme ich die Gleichungen um sodass gleiche unbekannte in der gleichen "Spalte" stehen (ist dann einfacher beim Additionsverfahren)

(1): x + y + z = 3
(2): 3x + 5y + z = 9
(3): x(6-x) + 3y + z = 6

Nun wird mit Hilfe einer Gleichung (1) eine Unbekannte in den beiden anderen "eliminiert"

(1): x + y + z = 3
(2)-(1): 2x + 4y = 6
(3)-(1): x(5-x) + 2y = 3

Nennen wir die neuen Gleichungen nun (2a) und (3a)
Es wird jetzt mit Hilfe von (2a) noch eine Unbekannte bei (3a) "eliminiert"

(1): x + y + z = 3
(2a): 2x + 4y = 6
2•(3a)-(2a): x(8-2x) = 0

Nennen wir die neue Gleichung jetzt (3b)
Jetzt hat man also die Gleichungen:

(1): x + y + z = 3
(2a): 2x + 4y = 6
(3b): x(8-2x) = 0

Jetzt hat man alles was man braucht und kann nach den Unbekannte auflösen:
Man fängt an mit (3b):

(3b): x(8-2x) = 0
x = 4

Man setzt dieses x dann in (2a) ein:

(2a): 2•4 + 4y = 6
y = -1/2

Dann setzt man das x und y in (1) ein:

(1): 4 - 1/2 + z = 3
z = -1/2

Man kann nun zur Probe das x, y und z in (4) einsetzten zur Probe:

(4): 5•4 + 6(-1/2) + 4•(-1/2) = 15
20 - 3 - 2 = 15
15 = 15 --> wahre Aussage

Ich hoffe ich konnte helfen und ich hoffe rechtzeitig!
Was studierst du, wenn ich fragen darf?

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