Lineare Unabhängigkeit zweier Vektoren?


14.02.2020, 17:02

Lösung (?)

 - (Mathematik, Vektoren, lineare-algebra)

3 Antworten

Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet
 Mein Ansatz wäre es zu zeigen, dass c1v1+v2 kein Vielfaches von v1+c2v2 ist, woraus ja lin. unab. folgen würde

Naja. Daraus, dass ein Vektor kein Vielfaches des anderen Vektors ist, kann man nicht unbedingt folgern, dass die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Beispielsweise ist im ℝ² der Vektor (0, 0) kein Vielfaches des Vektors (1, 0). Trotzdem sind die Vektoren (0, 0) und (1, 0) nicht linear unabhängig.

Das kann dir im vorliegenden Fall zwar nicht passieren, da keiner der beiden Vektoren gleich der Nullvektor sein kann (da man sonst einen Widerspruch dazu folgern könnte, dass v₁ und v₂ linear unabhängig sein sollen). Aber das müsstest du dann trotzdem erst noch klären, wenn du das so lösen möchtest.

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Doch wie zeige ich das rechnerisch?

Naja, überlege dir doch mal wie lineare Unabhängigkeit definiert ist...

Eine endliche Menge von Vektoren {v₁, ..., vₙ} ist nach Definition genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung



bzgl. λ₁, ..., λₙ ∈ 𝕂 nur die triviale Lösung



als Lösung hat.

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Im konkreten Fall sind die beiden Vektoren



genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung



also die Gleichung



nur die triviale Lösung (λ₁, λ₂) = (0, 0) hat.

Vorgehensweise: Multipliziere bei der Gleichung die linke Seite aus und sortiere bzgl. v₁ und v₂. Nutze dann die lineare Unabhängigkeit der Vektoren v₁ und v₂ um ein lineares Gleichungssystem bzgl. der Variablen λ₁, λ₂ aufzustellen. Überprüfe, in welchen Fällen dieses Gleichungsystem eindeutig lösbar ist, also nur die triviale Lösung (λ₁, λ₂) = (0, 0) hat.

Vielen Dank. Bin schon drauf gekommen (hoffe ich), stelle meine Lösung in die Frage. Kannst ja mal schaun obs richtig ist :)

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@mihisu

Hab mir deine Lösung angesehen. Also entweder bin ich falsch oder du weil wir genau das gegenteil raushaben oder nicht? Oder sollten das ungleichungheitszeichen am ende sein?

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@Tobias399

Naja. Im Grunde hast du das Richtige gemacht. Allerdings hast du einerseits keine Antwort formuliert, wann denn nun die beiden Vektoren linear unabhängig sind. Andererseits sind da kleinere formale Fehler...

So hast du beispielsweise dastehen...

⇒ λ₁c₁ + λ₂ = 0
⇒ λ₂c₂ + λ₁ = 0 ⇔ [...]

Damit hast du im Grunde genau genommen auch...

λ₁c₁ + λ₂ = 0 ⇒ λ₂c₂ + λ₁ = 0

... aufgeschrieben, was nicht richtig ist.

Und...

λ₂c₂ + λ₁ = 0 λ₂c₂c + λ₁c = 0

... ist auch nur für c₁ ≠ 0 äquivalent. Du müsstest also streng genommen noch den Fall c₁ = 0 untersuchen bzw. ausschließen, dass dieser Fall auftritt.

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@Tobias399
Also entweder bin ich falsch oder du weil wir genau das gegenteil raushaben oder nicht?

Nein. Wir haben doch nicht das Gegenteil raus.

Ich habe als Ergebnis:
Die beiden Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn c₁c₂ = 1 ist.

Du hast als Ergebnis:
Die beiden Vektoren sind linear abhängig, wenn c₁c₂ ≠ 1 ist.

Du hast wohl übersehen, dass du „linear abhängig“ (statt „linear unabhängig“) geschrieben hast, und du das demnach noch für „linear unabhängig“ umformulieren musst.

(Außerdem hast du genau genommen nur ein „wenn..., dann...“ aufgeschrieben kein „...genau dann, wenn...“)

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@mihisu

Ach, sorry. Vergiss einfach was ich in meinem letzten Kommentar geschrieben habe. Abgesehen davon, dass ich mich bei deiner Lösung am Ende verlesen hatte, habe ich in meiner Lösung einen Fehler gemacht.

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@Tobias399

Hier mein korrigierter Lösungsvorschlag...

https://i.imgur.com/tA0ID5v.png

Ich hatte versehentlich 1 - c₁c₂ = 0 geschrieben, wo eigentlich 1 - c₁c₂ ≠ 0 stehen sollte, und den Fehler dann durchgezogen.

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@mihisu

Ja genau, ja das passt. ich habs hier nicht so förmlich gemacht, ist richtig. Den Fall c_1=0 muss ich auch untersuchen, aber dann sollts passen. Danke ^^

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Bei solchen Aufgaben benutzt du am besten folgenden Ansatz:

 Jetzt musst du gucken für welche c1 und c2 die lambdas Null sein müssen, damit die Gleichung erfüllt ist.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Physikstudent

Dein Ansatz ist in diesem Fall natürlich äquivalent.

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Ja daran habe ich auch gedacht. da wird sofort klar dass wenn c1=c2=1 , die lamdas nicht null sind (also lin. abhängig). Aber im allg. weiß ich nicht wie ich bei diesem schritt weiterkomme bzw. wo ich die lineare Unabhängigkeit von v1 und v2 ausnutze. (Ausmultiplizieren?)
Grüße

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@RadonDerEchte

Ich glaub ich habs raus, hab meine Lsg in die Frage rein. Vielen Dank :)

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