lineare gleichungssysteme mit drei variablen erklärung

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2 Antworten

Ich weiß wirklich nicht, wie man das ohne Zahlen machen soll, deswegen bringe ich trotz deines Wunsches ein Zahlenbeispiel:

Wir betrachten folgendes Gleichungssystem:

I) x + y + 2z = 1

II) -x + y + 4z = 7

III) -x - y + z = 2.

Am Ende wollen wir ja gerne x = ..., y = ... und z = ... da stehen haben. Um das zu erreichen, müssen wir aber in jeder Gleichung zwei Variablen rauswerfen. Wir fangen mal damit an, in der zweiten und dritten Gleichung das x wegzukriegen. Dazu nutzen wir das Additionsverfahren. Ich addiere jetzt zur zweiten Gleichung die erste und zur dritten Gleichung addiere ich auch die erste:

I) x + y + 2z = 1

II) 0 + 2y + 6z = 8

III) 0 + 0 + 3z = 3.

Insbesondere habe ich in der letzten Gleichung weder x noch y stehen. Das heißt, ich kann die Gleichung nach z auflösen. Hierfür dividiere ich die dritte Gleichung durch 3:

I) x + y + 2z = 1

II) 0 + 2y + 6z = 8

III) 0 + 0 + z = 1.

Also ist z = 1. Das kann ich jetzt aber in meine anderen Gleichungen einsetzen:

I) x + y + 2 = 1

II) 2y + 6 = 8

III) z = 1

Jetzt kann ich die zweite Gleichung nach y auflösen. Hierfür subtrahere ich zunächst 6 und dividiere durch 2.

I) x + y + 2 = 1

II) y = 1

III) z = 1.

Jetzt kann ich auch y in die erste Gleichung einsetzen:

I) x + 1 + 2 = 1

II) y = 1

III) z = 1.

Nun forme ich zuletzt die erste Gleichung nach x um.

I) x = -2

II) y = 1

III) z = 1

Hi okay, also ich versuche es mal in Worten, sonst steht ja vllt auch eine Erklärung in deinem Mathebuch ;) Du schreibst die drei Gleichungen erstmal genau gleich auf, also so, dass das auf jeder Seite der Gleichungen die gleichen Angaben sind und die "ist gleich" untereinander stehen. Sortiere die Gleichungen so, dass von oben nach unten auch die Variablen untereinander stehen. Wenn das getan ist, gehts los. Du denkst dir ein Dreieck, dass von der oberen linken ecke der drei Gleichungen bis zur unteren rechten Ecke geht. Das, was außerhalbt dieses Dreiecks liegt willst du weg haben. Du schaust dir also deine erste und zweite Gleichung an und versuchst sie so zu verändern (durch multiplizieren der ganzen Gleichung), dass du sie addieren kannst und die letzte Variabel wegfällt. Schreibe das Gleichungssystem nochmal ab. Schaue dir die 1 und 3 Gleichung an und versuche auch dort duch Multiplizieren die 3 Variabel der 3 Gleichung wegzubekommen. Jetzt schreibst du das Gleichungssystem nochmals ab. Schau dir die 2 und 3 Gleichung an und versuche wieder durch Multiplizieren die Gleichungen so zu verändern, dass die 2 Variabel der 3 Gleichung wegfällt. Wenn du das geschafft hast, herzlichen Glückwunsch! Löse die letze Gleichung zur 1 Variabel auf und setze sie in die 2 Gleichung, mit diesem Ergebniss kannst du dann alle Variabeln herausfinden. Um zu schauen ob du es richtig gemacht hast, einfach die ursprünglichen Gleichungen mit den Variabeln rechnen und schauen ob das Ergebniss stimmt. Ich hoffe, ich konnte dir helfen.

Viele Grüße

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