Lineare Funktionen HILFEE!?

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2 Antworten

Lineare Funktion tauchen in der Mathematik in vielen Gestalten auf, dabei kommt es stets auf die Problemstellung an welche Darstellungsform gerade günstiger ist. Alle diese Darstellung sind gleichwertig, die allgemeine Formulierung in Polynomform lautet:

f(x) = m*x + b

Weitere Darstellungsformen sind bspw.:

f(x) = f(x1) + (x - x1)(f(x2) - f(x1))/(x2 - x1)

f(x) = f(x1)*(x - x2)/(x1 - x2) + f(x2)*(x - x1)/(x2 - x1)

und noch viele weitere.

Dadurch, dass sie alle gleichwertig sind lässt sich nun unabhängig von der Darstellungsform, die obigen gesuchten Parameter bestimmen.


Bestimmen von m:

Wähle zwei x-Werte, x1 und x2 (bspw. x1 = 1 und x2 = 3). Durch einsetzen erhalten wir dann die beiden Gleichungen:

(1)  f(x1) = m*x1 + b

(2)  f(x2) = m*x2 + b

Subtrahieren wir nun die erste von der zweiten, rechnen also: (2) - (1) ; so erhalten wir:

f(x2) - f(x1) = m*x2 - m*x1 + b - b

der konstante unbekannte Faktor b spielt somit keine Rolle mehr für die Bestimmung von m, da er sich wegkürzt. Ausklammern von m auf der rechten Seite liefert dann:

f(x2) - f(x1) = m*(x2 - x1)

Für den nächsten Schritt ist folgende Vorraussetzung wichtig:

1.)  | x1 - x2 | > 0   (x1 daft nicht identisch x2 sein !!!)

Die Division durch (x2 - x1) auf beiden Seiten liefert uns dann:

(f(x2) - f(x1))/(x2 - x1) = m

Dies ist unsere Bestimmungsgleichung für den Parameter m.


Bestimmen von b:

Die Bestimmung von b ist erdenklich einfach, es folgt mit:

f(x) = m*x + b

durch Subtraktion von mx auf beiden Seiten:

f(x) - m*x = b

Ist m und ein Punkt P = (x | f(x)) bekannt, so kann hier schon bereits durch einsetzen b bestimmt werden. Der Einfachste und häufigste Fall jedoch ist der, wo wir die gesamte Funktionsgleichung bzw. den gesamten Graphen der Funktion, gegeben haben. In diesem Fall kann man duch einsetzen von x = 0 sofort erhalten:

f(0) - m*0 = b

Damit gilt also:

f(0) = b

b ist also der Wert den die Funktion an der Stelle x = 0 annimmt.



Das ganze mal an einem Beispiel vorgemacht:

Sei die Funktion:

f(x) = 1*(x - 3)/(1 - 3) + 3*(x - 1)/(3 - 1)

Einsetzen von: x1 = 1  und x2 = 3 ; liefert uns die Punkte:

f(1) = 1   , x = 1

f(3) = 3    , x = 3

Einsetzen in unsere Bestimmungsformel für die Steigung m liefert:

m = (f(x2) - f(x1))/(x2 - x1) = (3 - 1)/(3 - 1) = 1

Somit haben wir also schon einmal die Steigung gefunden: 

--> f(x) = x + b

Zur Bestimmung von b benutzen wir nun den Punkt:

f(1) = 1 , x = 1

und die Bestimmungsgleichung für n, es folgt:

f(x1) - m*x1 = b  ---> f(1) - 1*1 = b

Und damit:

1 - 1 = 0 = b

Wir erhalten somit also insgesamt:

f(x) = 1*x + 0

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heraus ohne 2 r

und

du musst dann die Gleichung umformen zu y=mx+b , um m ablesen zu können;

und

y-Achsenschnittpunkt bekommst du, wenn du fürs x dann 0 einsetzt.

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xLIC0 04.10.2017, 22:16

danke sehr. Hat mir gut geholfen :)

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