Lineare Abhängigkeit auch bei Normalenvektor?

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4 Antworten

Der Betrag des Kreuzprodukts ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von den beiden Faktorvektoren aufgespannt wird.

Wenn die beiden Faktorvektoren die Richtungsvektoren einer Ebene sind, ist das Kreuzprodukt ( = vektorielle Vektorprodukt) derselben ein Normalenvektor der Ebene. Auf diesen trifft der Zusammenhang zu. Auf alle anderen Normalenvektoren nicht.

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Wenn du den Normalenvektor mit einem Skalar multiplizierst, änderst du seine Länge und damit seinen Betrag. Dieser Normalenvektor n2 ist dann nicht mehr das Vektorprodukt von a und b, also entspricht sein Betrag auch nicht unbedingt dem Flächeninhalt des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Da das Vektorprodukt aber bilinear ist, ist der Betrag von n2 gerade der Flächeninhalt des von a und 3b bzw von 3a und b aufgespannten Parallelogramms. Das ist auch unmittelbar einzusehen:

Ich kann den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms ausrechnen, indem ich a mit der Höhe h auf a multipliziere, d.h. A = a * h.

Wenn ich nun die Seite a verdreifache, ändert das an der Höhe auf a überhaupt nichts. Daher ist der neue Flächeninhalt dann (3a) * h = 3 * (a * h) = 3 * A.

Wenn nun |n1| = A ist, dann ist also |n2| = 3A.

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Hierum geht es auch nicht. Parllelität ist allgemeiner als die von dir angesprochene Streckung.

Ausgangspunkt ist Definition der Fläche als,

A = \\\\left\\\\vert\\\\vec{a}\\\\times\\\\vec{b}\\\\right\\\\vert,

Vektoren sind mathematische Objekte, die eine Richtung im Raum kennzeichnen, und eine bestimmte Länge aufweisen. Die zusätzliche Eigenschaft der Streckung die du ansprichst würde eine Äquiavelnzrelation definieren. Nähme man die Menge aller Vektoren im \\\\mathbb{R}^3 und verwendete die durch die Streckungsrelation trivialerweise induzierte Äquivalenzrelation, so erhielte man als Quotientenraum einen topologisch zur Einheitssphäre S^2 isomoprhen Raum, i.e., die Menge aller Endpunkte der vom ursprung ausgehenden vektoren bilden eine Kugeloberfläche um den Ursprung...

VG, dongodongo.

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Hausaufgaben machst Du bitte selbst.

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Kommentar von derdahinten
04.03.2014, 21:21

oh ja, vielen Dank.

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Kommentar von psychironiker
04.03.2014, 22:40

@RobertaKrumb. Schon erstaunlich, wie von manchen Individuen

  • in kompletter Unkenntnis der tatsächlichen Situation der fragenden Person Ratschläge gegeben werden, die
  • zum gefragten Inhalt nicht Stellung nehmen und
  • keinerlei eigenes Wissen bezeugen. - Schlimmer: Du hast ganz offensichtlich überhaupt nicht nicht begriffen, was derdahinten will, sonst hieltest du das nicht für eine Hausaufgabe.

Statt dessen bezeugt dein Text

  • schier unglaubliche Hochmut - das Ganze
  • zu Augen aller, die Deutsch lesen können.

Ich wäre da etwas vorsichtiger.

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