Lineare Abbildung?

 - (Mathematik, Lineare Abbildung)

5 Antworten

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  Siehst du; der Editor ist schon wieder abgestürzt. Da ist eine Abfrage drin, dass ich schon wieder einen Buchstaben zu viel habe.

  Ich bin auch der Überzeugung, Nachrechnen der Definition ist reine Beschäftigungsterapie. Und du sitzt noch morgen früh da.

  
Zu i) Eine lineare Abbildung bildet den Nullvektor immer auf den
Nullvektor ab. Und damit du nicht zu faul rumsitzt, während ich dir die
Arbeit mache, tu ich jetzt mal was für deine matematische
Allgemeinbildung.

   Nach den Vektorraumaxiomen ist ein Vektorraum
allererst eine ( kommutative ) Gruppe V ( + ) Was du dir jetzt klar
machen sollst.  Eine lineare Abbildung ist ein Sonderfall des
allgemeinen ===> Gruppen-Endomorphismus. Und für jeden Endomorphismus
gilt, dass er das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet:

           f  (  e  )  =   e      (  1.1a  )

    Für eine lineare Abbildung in einem Vektorraum folgt aus ( 1.1a )

         f  (  0  )  =  0       (  1.1b  )

   ( Es reicht nicht, in der Vorlesung mitzuschreiben; du musst das Ganze auch irgendwie zum Leben erwecken. )

   Was ist bei Aufg i) das Bild von x = 0 ? Offenbar

        f  (  0  )  =  b      (  1.2  )

    Bedingung ( 1.1b ) ist offenbar nur dann erfüllt, wenn b = 0 . Jetzt bedienen wir uns mit Vorteil eines Teorems

  SATZ 1        

     ==============

    " Eine Abbildung |R ^ k  ===>  |R ^ n   ist linear genau dann,

    A)  wenn sie sich darstellen lässt als   n  X  k   Matrix

    B)  die Matrixelemente konstant sind. "

    =====================================

  
Jetzt hätte ich gerne, dass du dir klar machst: Jeden Zahlenkörper so
wie |R kannst du immer als Vektorraum über sich selbst auffassen; also
|R = |R ( |R ) Diese " Selbstdarstellung " ist immer eindimensional.

  
Dann folgt aber aus Satz 1 :  Eine Abbildung von dem Körper in sich ist
genau dann linear, wenn sie eine 1 X 1 - Matrix ist, sprich: eine
Multiplikation mit dem konstanten Element a. Das ist hier der Fall.

    Man kann das übrigens auch ganz elementar nachrechnen; die beiden Bedingungen an lineare Abbildung

          a  (  x  +  y  )  =  a  x  +  a  y      (  1.2a  )      ;    Distributivgesetz

       a  (  k  x  )  =  k  (  a  x  )       (  1.2b  )

      Bei ( 1.2b ) handelt es sich um ein Gemisch aus Assoziativ-und Kommutativgesetz.

  
So ich schick jetzt erst mal ab, weil dieser Editor so instabil ist;
die anderen Aufgaben kommen aber auch noch dran - versprochen.

  Weißt du, was ich irgendwo komisch finde? Bei Kommentaren läuft dieser Editor stabil bis zum 5 000 . Zeichen. Hier die spinnen die Römer; wieso haben die da eine Abfrage If ( Kommentar ) eingebaut?

   Die ii) find ich sowas von spannend. Zwei Formeln über ===> Komplexkonjugation, die jeder Matematiker einfach drauf haben muss.

     (  a  +  b  ) *  =  a *  +  b *       (  2.1a  )

     (  a  b  ) *  =  a *  b *          (  2.1b  )

   Eine Abbildung, die ( 2.1ab ) erfüllt, heißt (Algebra) ===> Automorphismus; siehe v.d. Waerden, Artin oder das hervor ragende Skript von Otto Haupt. Willst du mal in die Vorlesung über (Polynom) Algebra?

   Traust du dir zu, ( 2.1ab ) zu beweisen? Komplexkonjugation  ist weiter nichts als Spiegelung an der reellen Achse.

        z *  =  z  <===>  z  €  |R         (  2.2  )

   Und das genau ist der Punkt. So lange k reell ist, folgt aus ( 2.1b )

          (  k  x  ) *  =  k  x *         (  2.3  )

   und die Komplexkonjugation  ist in der Tat linear. So bald aber k beliebig komplex sein darf, mithin Forderung ( 2.2 ) verletzt ist, geht es schief.

    Ferner war gefordert, bei jeder Aufgabe die Matrixdarstellung anzugeben. Fassen wir eine komplexe Zahl auf als Vektor, so lautet die Komplexkonjugation 

       (  x  |  y  ) *  :=  (  x  |  -  y  )      (  2.4a  )

      und die Matrix

                   1            0                     (  2.4b  )

       C  =      0        - 1

    Etwas anderes scheint mir hier aber viel wichtiger, was du lernen sollst. Aufgefasst als reeller Vektorraum, ist |C zweidimensional - weiß jeder. Frankfurt war ja echt Spitze; aber das war selbst mir neu. Schau mal in Wiki, wie eine Basis definiert ist; Satz und Definition. Und LERNE ES AUSWÄNDIG . Basis ist, wenn eine der 4 folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:

   1) Eindeutig Erzeugendes

  2) Minimales Erzeugendes

 3) Linear unabhängiges Erzeugendes

 4) Maximal linear Unabhängiges 

  Eine Basis für |C = |C ( |R )  ist bekanntlich

           M  :=  {  1  ;  i  }             (  2.5a  )

   Mit Sicherheit ist ( 2.5a ) ein Erzeugendes; jede komplexe Zahl z lässt sich schreiben

           z  =  a  +  b  i        (  2.5b  )

   In 1) war aber gefordert: eindeutig  Erzeugendes. So lange a und b reell sein sollen, folgen ihre Werte durch Koeffizientenvergleich, d.h.

      a1  *  1  +  b1  i  =  a2  *  1  +  b2  i  ===>  a1  =  a2  ;  b1  =  b2     (  2.5c  )

   Auch Bedingung 2) sieht man trivial ein. M ist minimal; nehme ich etwa das Element i heraus, kriege ich nur noch reelle Vielfache der Eins und kann etwa imaginäre Zahlen nicht mehr ausdrücken.

   Das alles gilt nicht mehr, wenn wir |C auffassen als |C ( |C )   Wir erinnern uns; oben im Zusammenhang mit Aufgabe i) hatten wir gesagt, jeder Körper über sich selber ist nur eindimensional. So ist z.B. M noch Erzeugendes, aber nicht mehr eindeutig. Zwei mögliche Darstellungen für die imaginäre Einheit i wären etwa

      i  =  0  *  1  +  1  *  i  =  i  *  1  +  0  *  i         (  2.6a  )

   Folglich kann M auch nicht mehr minimal sein. Nehmen wir jetzt i heraus, können wir trotzdem noch ganz |C generieren

               z  =  z  *  1    ;   z  €  C     (  2.6b  )

   Ein Vektorraum ist nicht bloß eine " isolierte " Menge ohne Bezug zu iegendwas, sondern er ist ein Vektorraum ÜBER einem Körper; verlinkt mit diesem Körper. Und wenn ich diesen Grundkörper ändere, bekomme ich einen anderen Vektorraum.

   Ich sage dies alles, weil ja die Frage nahe liegt: Was wird aus der Matrix der Komplexkonjugation ( 2.4b )  bei dem Übergang von |C = |C ( |R ) nach |C = |C ( |C ) ?

   Dann müsste quasi aus der 2 X 2 Matrix eine vom Format 1 X 1 werden. Komplexkonjugation ist die Zuordnung

      r  exp  (  i  ß  )  ===>  r  exp  (  -  i  ß  )        (  2.7a  )

    und entspricht der Multiplikation mit

           exp  (  -  2  i  ß  )      (  2.7b  ) 

    Entgegen der Forderung von Satz 1 ist dieses Matrixelement aber nicht konstant, sondern es geht die Phase der Zahl mit ein.

   Dies sollte aber nur eine Plausibilitätsbetrachtung sein; ein exakter Beweis ist es nicht. Denn es könnte immer noch jemand einwenden, vielleicht krieg ich eben doch eine Matrix hin, wenn ich es geschickter angehe.

   Diese Überlegungen waren so wie die berühmte Leiter aus Wittgensteins Tractatus. Wittgenstein der Kistenheilige; ein Kistenheiliger ist definiert als Philosoph, der auf der Kiste  steht und vergessen hat, dass er auch wieder mal runter muss ...

  Ein Missgriff in der Sprache außerdem. Ein Brett vorm Kopf zu haben, war seit Je ein Bild dafür, besonders wenig verstanden zu haben. Aber die Kiste als Symbol für Weisheit, Wissen und Einsicht? Ich weiß nicht ...

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@gilgamesch4711

  Vorwort. Meine Ausführungen gerieten deshalb etwas länger, weil ich nicht dein Gelump mache, sondern ich will, dass du was lernst ( Hilfe zur Selbsthilfe )

    Zu der mittlerweile erfolgten Antwort von P. Wolff

  Zu i)  Nein; die richtige Antwort ist nicht Lambda = 0 , sondern wie ich sagte x = 0 . ( Denk nochmal selber nach !!!! )

   Zu ii) ; natürlich hat er Recht. Aaber.  Weißt du überhaupt schon, was eine ===> Körpererweiterung ( KE ) ist? Findest du alles wie gesagt im Artin und v.d. Waerden; meine Antwort hatte ich gerade deshalb etwas ausführlicher gehalten, weil ich mal annehme, dass ein Student nicht weiß, was eine KE ist, der noch mit der Definition der linearen Unabhängigkeit kämpft.  Für Anfänger im ersten und zweiten Semester werden die komplexen Zahlen übrigens nicht - was ja nahe läge - als KE der reellen Zahlen eingeführt. Schon mein Doktorvater meinte

   " Sie können nicht abstrahieren, wemm Sie nichtshaben, wovon Sie abstrahieren können. "

   Sondern man führt komplexer Zahlen ein als Zahlenpaare mit Rechenregeln, die zwangsläufig etwas göttlich Wundersames an sich haben.

    Zu Punkt iii) Wolf will sagen: Wähle abermals x = y = 0 für Nullvektor.

   Dann findest du  

            f  (  0  )  =  (  0  |  0  |  1  )      (  3.1  )

     im Widerspruch zu ( 1.1b )

   iv) hab ich einfacher als Wolff. Wegen meinem Satz 1 reicht es, wenn ich die Abbildungsmatrix A angebe.  Es müsste ein 3 X 1 Zeilenvektor sein, den ich mal im Spaltenformat schreibe

       A  =  (  2  |  3  |  4  )        (  3.2  )

   Hast du Wolfs Antwort zu v) verstanden? War übrigens auch meine Idee. Wolf geht davon aus, dass die Norm eine nicht negative Funktion ist; Widerspruchsbeweis. Sei v ein Vektor mit

           |  v  |  >  0       (  3.3a  )

     Wäre die Norm linear, so müsste gelten

      |  -  v  |  =  -  |  v  |       (  3.3b  )

   

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Inwieweit kommst du mit der Definition nicht weiter?

Tipps:

(i): in f(λ x) = λ f(x)   λ = 0 wählen (wie müssen die Parameter a und b demnach eingeschränkt werden?)

(ii): z ∈ ℂ => z = x + i y  mit x, y ∈ ℝ;  conj(z) = x - i y   (eine Körpererweiterung ist immer ein Vektorraum über dem Grundkörper)

(iii): siehe (i)

(iv): Definition prüfen

(v): in f(λ x) = λ f(x)   λ < 0 wählen

Woher ich das weiß:Hobby – Hobby, Studium, gebe Nachhilfe

Du musst einfach überprüfen ob f(x+y)=f(x)+f(y) und f(ax)=af(x) gelten (oder zusammengefasst f(ax+y)=af(x)+f(y)).

Na eine lineare Funktion muss immer nach dem Schema: f(x) = mx + c aufgebaut sein. 


bei einem x^2 oder so bist du schon bei einer exponential-Funktion

Nein es geht auch anders. Die b im obigen Aufgabenblatt ist z.b. auch linear, da der Vektorraum über R ist und nicht über C.

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Wir befinden uns hier im Bereich der linearen Algebra, nicht der Analуsis. In der linearen Algebra ist der Begriff der "linearen Funktion" enger gefasst - eine additive Konstante ist hier nicht zulässig. Außerdem heißt hier x² nicht x * x, sondern x mit einem oberen Index 2 (sehr zur Verwirrung von Anfängern).

(und x^2 ist nur eine einfache Potenz, weit entfernt von einem Exponential a^x)

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