linear abhängig Vektrorraum?
Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) Ist (v1, v2) ∈ V^2 linear abhängig, so existiert v ∈ V mit v1, v2 ∈ ⟨v⟩
(ii) Sind (v1, v2) ∈ V^2 und (v2, v3) ∈ V^2 linear abhängig, so auch (v1, v3).
(iii) Sind (v1, v2) ∈ V^2 und (v2, v3) ∈ V^2 linear abhängig, so auch (v1, v3), falls v2≠0.
brauche Hilfe ):
2 Antworten
(i)
Wenn v1 und v2 linear abhängig sind, bedeutet das, dass es r und s aus K gibt, sodass r * v1 + s * v2 = 0, wobei r ≠ 0 oder s ≠ 0 sein muss. Anders geschrieben steht dort:
r * v1 + s * v2 = 0
r * v1 = –s * v2
(–r/s) * v1 = v2
t * v1 = v2
mit t := –r/s. Es gibt also ein Skalar t aus K, sodass r * v1 = v2.
⟨v⟩ ist die Menge {q * v : q aus K}. Wenn wir nun v := v1 setzen, erhalten wir
⟨v1⟩ = {q * v1 : q aus K}.
Also ist insbesondere für q = r auch v2 in ⟨v1⟩, was zu zeigen war.
Falls du Lösungsansätze statt der vollständigen Lösung haben willst, damit du es noch selbst probieren kannst:
I) wenn zwei Vektoren Linear abhängig sind, dann kannst du einen Vektor als Vielfaches des anderen darstellen.
Beweise diese Aussage, und nutze die dann, um deine Aussage zu zeigen.
Ii) finde ein Gegenbeispiel (Tipp: warum hat die III) eine zusätzliche Bedingung?)
III) nutze die die I), indem du zeigst, dass v1 und v3 beide in <v2> sein müssen.
Wenn du irgendwo festhängst kannst du dich gerne bei den Kommentaren melden :)
(v1, 0) ∈ V^2 und (0, v3) ∈ V^2 sind linear abhängig, aber nicht zwingend (v1, v3).