limsup(x*an) = x* limsup(an) - Wie zeige ich das?

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2 Antworten

Ja, du hast es richtig erkannt. Da der lim sup einfach das Infinum der Suprema ist (wobei n steigt), reicht es zu zeigen, dass:

Für jede beliebige Teilmenge X aus R und a Element R gilt:

sup(aX) = a sup(X), wobei aX elementweise Multiplikation ist, analog für das Infinum.

Sei y = sup(aX).

Es gilt also:

Für alle ax element aX:

ax <= y,

für alle eps > 0 existiert ein ax element aX, sodass:

ax + eps > y.

Alle diese Ungleichungen kannst du jetzt durch a teilen, du musst nurnoch begründen, dass die "für alle eps"-Aussage gilt (du kannst dir für alle eps' einfach das ax aus a eps' schnappen, die Existenzaussage gilt ja für ALLE eps), und du bekommst:

y/a = sup(X) -> y = a sup(X), also genau was du wolltest.

Analog zum inf und du kannst gemütlich Koeffizienten rausziehen immer wenn du endliche Verlettungen von sups und infs hast.

LG

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sei A eine menge in einem vektorraum V, x aus dem zugrunde liegenden körper, und x*A definiere die menge {x*a aus V | a aus A }, also die menge aller elemente aus A, die mit x multipliziert wurden.

zu zeigen ist also sup(x*A)=x*sup(A).  (beim infimum analog)

dies klingt plausibel, muss aber erst gezeigt werden. wenn du nicht sicher bist, ob das geht, dann hast du das bisher wohl nicht gemacht ;)

dabei geht man so vor, dass man überprüft, ob x*sup(A) eine schranke ist, und danach zeigt, dass es die "beste" schranke war.

für alle a aus A gilt: a<=sup(A). also gilt auch wegen x>=0 (ordnungen bleiben erhalten) a*x<=sup(A)*x. alle elemente aus x*A sind aber von der form x*a, also gilt sup(x*A)<=x*sup(A).

dass dies auch die kleinste obere schranke ist, zeigt man durch widerspruch. dies überlasse ich mal dir. dabei nimmt man üblicherweise ein epsilon>0 zu hilfe.

dieselbe beweisidee kann man auch auf andere bekannte äquivalente definitionen des limsup anwenden. zB ist der limsup der größte häufungspunkt. man zeigt dann: x*limsup(a_n) ist ein häufungspunkt, und dann, dass es keinen größeren häufungspunkt geben kann. die idee ist immer die selbe.

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