Limes geht gegen 0^0

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3 Antworten

Intuitiv gäbe es mir 1, ich bekomme aber keinen eleganten Weg, trotzdem kommt hier die hässliche Methode von mir.

Zur Vereinfachung nutzen wir lim x->0 sin(x)/x = 1, also lim x-> 0 ln(x+1)^sin(3x) = lim x->0 ln(x+1)^3x.

Dazu kannst du nutzen, dass ln(x+1)^3x = (ln(x+1)^x)^3, jetzt kannst du Taylorreihen anwenden, indem du zu e^3x log(log(x+1)) umformst. Jetzt hast du eine sehr hässliche Taylorreihe von der Form Summe(k = 0 bis unendlich)((Summe(i=0 bis k)(a(k, i) * log(x)^i)x^k)), wobei a(k, i) sehr hässliche Koeffizienten sind, deren Form ich nicht herausfinden möchte (es sind aber definitiv reelle Zahlen!). Weil das ganze hier in dieser Form etwas hässlich aussieht, hier ein Bild: http://www.sciweavers.org/upload/Tex2Img_1422679097/render.png

Was wir allerdings wissen, ist, dass nach Definition der Taylorreihe von e^x die Nullte Potenz nicht von x abhängig war, also 1 ist. Alle anderen Potenzen sind von der Form log(x)^i x^k, wobei i <= k, und wir wissen durch i-maliges Anwenden von L'Hôspital, dass diese alle 0 ergeben, also sind wir am Ende nurnoch mit der konstanten 1 übrig.

Ich hab mir diese Frage gemerkt, weil ich hoffe, dass jemand eine schönere Lösung findet, so lange bin ich mit meiner Methode zufrieden, obwohl sie übertrieben hässlich ist.

LG

Roach5 31.01.2015, 05:50

Bemerkung: Ich habe gerade gemerkt, dass man durch Substitution und Anschauung der Taylorreihen e^3xlog(log(x+1)) = e^3ulog(u)) für u gegen 0 setzen kann. L'Hôspital sagt uns direkt, dass ulog(u) mit u -> 0 gegen 0 strebt. Dann haben wir e^0 und das ist als 1 wohldefiniert.

LG

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Warum sollte 0^0 nicht existieren`?

cat64k 30.01.2015, 22:04

weil in dem punkt 2 folgen aufeinanderstoßen und damit ein unerwartetes ergebnis kommt:

5^0 = 1
4^0 = 1
3^0 = 1
2^0 =1
1^0 =1




0^5 = 0
0^4 = 0
0^3 = 0
0^2 = 0
0^1 = 0




damit ist also 0^0 nicht definierbar.

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iokii 30.01.2015, 22:08
@cat64k

0^0=1 ist definiert, die Potenzfunktion ist in diesem Punkt allerdings nicht stetig.

Ob der Grenzwert deiner Folge jetzt 0 oder 1 oder etwas dazwischen ist musst du jetzt selber herausfinden, wahrscheinlich geht das mit Termumformungen irgendwie.

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