Lagebeziehung zweier Ebenen in einer Schnittgeraden

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2 Antworten

(Großbuchstaben für Vektoren, Kleinbuchstaben für Skalare)

g gesuchte Schnittgerade


Lösung mit Normalenvektor (finde ich übersichtlicher):

Normalenform von E1 mit Kreuzprodukt ( = vektoriellem Vektorprodukt):

E1: X = A + l U + m V ⇒ N (X - A) = 0, wobei N = U (kreuz) V ;

Einsetzen der Paramaterform

E2: X = B + s V + t W ergibt

N ( B + s0 V + t0 W - A) = 0

N(B -A) + s0 N V + t0 N W = 0; wegen N V = 0 ist das vereinfacht

N(B -A) + t0 NW = 0

t0 = ( N(A -B)) / (N W)

Dies ist der Wert des Skalars t0 für alle Punkte von E2, die auf g liegen. Mit Einsetzen in die Gleichung von E2 bekommst du

g: X = B + t0 W + s V; in Zahlen:

g: X = (-3 15/2 -9/2) + s( 0 2 -3)


Lösung mit Gleichungssystem:

A + l U + m V = B + s V + t W (1)

l U + (m -s) V - t W = B - A

hat eine eindeutige Lösung l = l0, m -s = r0, t = t0. (2)

(Etwas schwierige) Interpretation: Wenn ein Punkt

A + l0 U + m0 V

(1) erfüllt und deswegen auf g liegt, dann liegen auch alle Punkte

A + l0 U + m0 V + m V , m beliebig

auf g, da E1 und E2 den Vektor V gemeinsam haben. Für m = r0 - m0 ⇔ r0 = m0 + m liegt

A + l0 U + r0 V auf g, also:

g: X = A + l0 U + r0 V + m V, wobei l0, r0 Lösungen aus (2) sind, und m beliebig ist.

Rechnerisch ist (auch wieder) A + l0 U + r0 V = (-3 15/2 -9/2)

durch die vielen Nullen dürfte es ja nicht so schwer sein; l durch m oder s durch t ausdrücken.

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