Kurvenintegral und Potential

...komplette Frage anzeigen Potential - (Mathematik, Physik)

1 Antwort

Naja, du musst ja nur ein Potential U finden. Und dann gilt ja schließich, dass der Wert des Integrals gleich der Wert des Potentials am Endpunkt minus Wert des Potentials am Anfangspuunkt hat, also hier:

U([2,4,8])-U([0,0,0])

Und um das Potential zu finden, mus man einfach "aufleiten". Schließlich gilt:

dU/dx=2xy+z²-4x
dU/dy=x²-2y+2z
dU/dz=2xz+2y+2z

Und jetzt geht man einfach schrittweise vor, indem man zuerst die erste Gleichung integriert. Das heißt, man integriert einfach beide Seiten der Gleichung nach x. Dabei muss es noch eine Integrationskonstante C geben, die aber nicht mehr von x abhängig sein darf (Weil sie bei der Probe - sprich beim Ableiten - wieder Null werden muss):

U(x,y,z)=x²y+xz²-2x²+C(y,z)

Im zweiten Schritt leitet man das jetzt einfach nach y ab, und vergleicht das:

dU(x,y,z)/dy=x²+dC(y,z)/dy=x²-2y+2z

Damit ergibt sich: dC(y,z)/dy=-2y+2z. Das Integrieren wir wieder, und erhalten C, abhängig nur noch von einer Integrationskonstanten L, die abhängig ist von z:

C(y,z)=-y²+2zy+L(z)

Damit ergibt sich U(x,y,z)=x²y+xz²-2x²+C(y,z)=x²y+xz²-2x²-y²+2zy+L(z)

Der dritte Schritt ist analog: Ableiten nach z, vergleich, L berechnen, wobei nur noch eine konstante Integrationskonstante (welch schönes Wortspiel;-) ) übrigbleibt, die man beliebig wählen kann (hier sinnvollerweise K=0):

dU/dz=2xz+2y+dL(z)/dz=2xz+2y+2z
dL(z)/dz=2z
L(z)=z²+K

Also ergibt sich:

U(x,y,z)=x²y+xz²-2x²-y²+2zy+L(z)=x²y+xz²-2x²-y²+2zy+z²+K=x²(y-2)-y²+z²(x+1)+2zy

Jetzt kann man das Integral als Potentialdifferenz berechnen:

U(2,4,8)-U(0,0,0)=248

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