Kurvendiskussion: f(x)=(x²+16)/(2x) ?

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4 Antworten

  Dies der versprochene Teil 2 . ( 1.1 ) guckt dich nur deshalb so seltsam an, weil du bisher die ===> gleichseitigen Hyperbeln gewohnt warst, deren ===> Asymptoten aufeinander senkrecht stehen. Dagegen hier steigt die unendlich ferne Asymptote unter

          tg  (  ß  )  =  1/2  ===>  ß  =  26  °  34  '     (  2.1a  )

   Hier mein TR ist schon lange übern Jordan; ich hab das jetzt mit der Tangenstafel aus Muttis Logaritmen interpoliert . So haben wir das damals in der Steinzeit gemacht, als der Däniken den Ägyptern die ersten Logaritmen in die Stelen meißelte ...  Googele mal nach der SF-Geschichte " der Minimmalforscher "

    Das Residuum in ( 1.1 ) ist positiv entsprechend einer Asymptotensteigung  von ( + 90 ° ) Damit hast du eine gedrungene oder gestauchte Hyperbel mit Öffnungswinkel

        µ  =  90  °  -  ß  =  63  °  26  '     (  2.1b  )

    Diktat für Formelsammlung, Regelheft und Spickzettel ( FRS )

    " Jede Hyperbel besteht aus zwei Ästen, die ===> topologisch nicht ===> zusammen hängen. "

    "  Punktspiegelung; spiegelt man Ast 1 an dem Schnittpunkt der beiden Asymptoten, so bekommt man Ast 2 . "

   Überzeuge dich, dass in ( 1.1 ) dieser Schnittpunkt bereits in den Ursprung verschoben wurde; die ( ungerade ) Symmetrie drückt sich aus in der Beziehung

     f  (  -  x  )  =  -  f  (  x  )     (  2.2  )

     In ( 1.2a ) hatte ich gesagt, dass ich  eine neue Normalform der Hyperbel entdeckt hatte; nennen wir sie die Gilgamesch-oder G-Form. ( Normalform bedeutet ja immer, dass du eine ganze Klasse, hier die Hyperbeln, auf diese spezielle Form bringen kannst; die scheinbar spezielle Form ist schon der allgemeinste Fall. ) Ist wie hier zusätzlich noch in G-Form das Symmetriezentrum in den Ursprung verschoben, so wollen wir von der natürlichen Darstellung ( ND ) der Hyperbel sprechen so wie in ( 1.1 )

   Warum nenne ich mich eigentlich ===> Gilgamesch? Weil ich der ===> Wanderer ferner Wege bin ...

   Wieder Diktat für FRS ; jetzt kommen deine Extrema und Nullstellen an die Reihe.

  " In G-Form + ND hat eine gestauchte Hyperbel ( Öffnungswinkel < 90 ° ) auf jedem Ast genau ein Extremum; sie hat aber keine Nullstellen. Bei einer gestreckten Hyperbel > 90 ° ist es umgekehrt. "

   Der Beweis ist ganz einfach; nimm einmal an, es gibt ein Extremum. Die Bedingung an die erste Ableitung ist quadratisch; wegen der Symmetrie muss es auf jedem Ast genau ein Extremum geben. Mehr wie 2 Wurzeln kann eine quadratische Gleichung nicht haben; der Vorrat ist erschöpft.

   Nimm einmal an, der linke Ast kommt asymptotisch von ( - °° ) Dann steigt er auf bis zu seinem ( auch globalen ) Maximum und nähert sich bei der Polstelle von Links wieder ( - °° )

   Nullstellen könnte es nur geben falls

       f  (  max  )  > =  0      (  2.3  )

   Bedingung ( 2.3 ) bedeutet aber gleichzeitig immer ZWEI Knoten für den linken Ast;  wegen Symmetrie ( 2.2 ) betrüge die Gesamtzahl der Nullstellen einer Hyperbel 4 . Un nd das ist wieder in Widerspruch damit, dass eine Hyperbel eine quadratische Bedingung darstellt.

    Extrema  ===>  keine Nullstellen    (   2.4a  )

     Nullstellen  ===>  keine Extrema   (  2.4b  )

   Falls es dir entgangen sein sollte; ( 2.4ab ) sind formal logisch äquivalent. ( 2.4b ) entsteht durch einen ===> Syllogismus; verneinst du die Prädikate in ( 2.4a ) , so ist die logische Schlussrichtung umzukehren:

  " Schöne Worte sind nicht wahr " = " Wahre Worte sind nicht schön. "

   Deine Freundinnen ( und dein Lehrer ) sehen wahrscheinlich nur das ===> Ephemere, Zufällige hinter dieser Aufgabe.

   Ach übrigens. Weil du auch die WP bestimmen sollst; wir sagten: KS sind Ellipse, Parabel und Hyperbel.
Wieder Diktat für FRS

   " KEIN KS hat WP . "

   Bei der Parabel ist das offensichtlich, wenn du ihre Symmetrieachse auf die Ordinate legst. Und bei der Hyperbel beweist du das eben besonders toll in G-Form ( 1.3 )

   Meine Bitte; wäre es möglich, dass du mich über Mail benachrichtigst, wenn du wieder die Kurvendiskussion einer gebrochen rationalen Funktion machen musst? Hey ich fühl mich da maximal fit, wie du siehst. Ich mach das zur Erholung so wie andere Schach, Go oder Sudoku. 

   Da ich mich  mit dem System nicht so auskenne, weiß ich nicht, was du für Rechte hast; in Lycos wäre das Mega einfach, weil jeder jedem alle Nachrichten zukommen lassen kann.

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  Du DIE gibt ein Heimspiel; schon jetzt weiß ich, dass ich dich nach Strich und Faden veraaschen werde. Jetzt dividier das mal einzeln aus; nachher bei der Ableitung macht sich das günstig:

   y  =  f  (  x  )  =  ( 1/2 )  x  +  8  /  x      (  1.1  )

   So jetzt tritt mal einen Schritt zurück; wenn ich dich frage, was für einen Typ Kurve stellt denn ( 1.1 ) dar? Und du antwortest

          " Gerade + Hyperbel "

    DANN genau ist der Veraaschungseffekt eingetreten, von dem ich oben sprach ( Sonst brauchte ich dich ja gar net fragen ... )

   Hier du bist ja schon ein richtig großes Kind; du weißt ja immerhin schon, was ===> Extremwertaufgaben sind. Und in dem Konkurrenzportal ===> Lycos war für einen Grafen vom Typ ( 1.1 )  gefragt

  " Bestimmen Sie den Punkt mit dem  geringsten Abstand zum Ursprung. "

   Die kriegst du von mir als Hausaufgabe; bitte in dein Heft aufnehmen und an deinen Lehrer weiter sagen. Das gilt als Iniative und Interesse.

   Das Beste ist mir ja nie gut genug; für diese Extremaufgabe probierte ich verschiedene alternative Lösungsstrategien. Und dann - der Schock. Welcher Schock? Schau mal in ( 1.1 )

    y  =  ( 1/2 )  x  +  8  /  x   |  *  2  x     (  1.1  )

    2  x  y  -  x  ²  =  16  =  const        (  1.2a  )

    Was du auf der linken Seite hast in ( 1.2a ) , ist eine ===> homogene quadratische Form ( HQF ) in x und y

     H  (  x  ;  y  )  =  16  =  const    (  1.2b  )

   und jeder Student  im 2. Semester weiß ( oder sollte wissen ) :

  " Eine HQF ist immer ein Kegelschnitt ( KS ) ; d.h. eine ===> ellipse oder ===> Hyperbel. "

   D.h. wir kommen zu dem völlig überraschenden Ergebnis

       "  Gerade  +  Hyperbel  =  Hyperbel  "    (  1.2c  )

   Ja es ist alles noch viel spannender; was die Normalform einer Hyperbel ist, findest  du in Wiki oder im Lehrbuch. Aber ich konnte zeigen, dass gewisser Mmaßen auch die Umkehrung von ( 1.2c ) gilt; jede Hyperbel kässt sich auf die Form ( 1.2a ) bringen bzw.

    y  =  A  x  +  B  +  C / x     (  1.3  )

   Alles was du tun musst: Das Zeichenblatt so drehen, dass eine der beiden Asymptoten vertikal unter 90 ° C ansteigt.

   Ich habe dir noch soo viel zu sagen; aber bei längeren Texten macht dieser Editor immer schlapp. Deshalb schicke ich erst mal ab, schicke  aber noch einen Teil 2 hinterher.

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Definitionsbereich ist ganz R ohne die 0

Fernverhalten: x/2

Symmetrie: Punktsymmetrie

Nullstellen: keine

Ableitung: 1/2 - 16/(x^2)

Extremwerte bei: x1 = 32^(1/2) ; x2=-32^(1/2)

Wendepunkte: gibt keine

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Dann probier es doch mal, und wenn du nicht weiter weißt, kann man dir helfen.

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