Kurvendiskussion aus Wurzelfunktionen

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Etwas genauer zu deiner Frage:

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung

0 = 3 - x + 2 √ x (1) ergibt durch Quadrieren, denn

4x = x² - 6x + 9;

aber

0 = 3 - x - 2 √ x (2) ergibt durch Quadrieren ebenfalls

4x = x² - 6x + 9;

die Lösung x2 = 1 löst Gleichung (2) (aber nicht (1)). Du hast also ohne Absicht beim Quadrieren noch eine andere Ausgangsgleichung "einbezogen", die gar nicht gegeben war.

Wie auch stekum schreibt, geht es aber tatsächlich nicht besser; du kannst nur so rechnen und hinterher ausprobieren, welche der Lösungen, die du herausbekommst, die Ausgangsgleichung löst (und welche "irgendwas anderes").


Die Nullstelle der Ableitung x = 1 ist notwendig, nicht hinreichend für einen Hochpunkt. Es ist aber tatsächlich eiin Hochpunkt, weil

  • f'(x) > 0 für 0 < x < 1 und
  • f'(x) < 0 für x > 1

Eine Nullstellen der Ableitung mit Vorzeichenwechsel von + nach - ist hinreichend für einen Hochpunkt. Deswegen sollte der Vozeichen "dazugesagt" werden.

Gegenbeispiel: Die Ableitung von y = x³ hat bei x = 0 eine Nullstelle, aber y = x³ bei x = 0 trotzdem weder Hoch- noch Tiefpunkt.


Wendepunkt:

f''(x) = ( x^(-1/2) ) ' =

(-1/2) x^(-1/2 -1) =

(-1/2) x^(-3/2) =

-1 / (2 √ ( x³ ) )

da eine Nullstelle von f'' notwendig (aber nicht hinreichend) ist, damit f einen Wendpunkt haben kann, und f'' keine Nullstelle hat, hat f tatsächlich keinen Wendepunkt

Viel mehr gibt es da auch nicht zu diskutieren..

Hast Du alles einwandfrei gerechnet. Beim Quadrieren bekommt man oft auch ungültige Lösungen. Hier hast Du auch die Nullstelle von g(x) = 3 - x - 2√x berechnet. Dass es keinen WP gibt, zeigt eine ganz grobe Skizze des Graphen.

allles korrekt mE

und bei 3) x=1 auch Nullstelle, weil beim Wurzel ziehen + und - rauskommt;

also 3-1-2=0

Nein, √x ist immer positiv.

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