Wie geht das Kürzen folgender Brüche?

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5 Antworten

Du musst den gemeinsamen Teiler finden. 56 lässt sich durch 8 teilen (somit auch durch 4) und 84 lässt sich durch 4 teilen. Also beide Zahlen durch 4 Teilen dann hast du es.

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Finde einen gemeinsamen Teiler. Das geht manchmal nur durch ausprobieren.

Nimm zuerst kleine, naheliegende Teiler. Da Zähler und Nenner gerade Zahlen sind, sollte dir sofort ein bestimmter kleiner Teiler einfallen.

Dann grübel weiter, ob es nochmal durch eine kleine Zahl geteilt werden kann. 

usw.

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56 und 84 haben als letzte Dezimale eine Zahl (hier 6, 4) welche durch 2 teilbar ist, sind also gerade Zahlen. Nun kann man 56 und 84 durch passende 2er Potenzen abschätzen: (hier von 2^0 = 1  bis  2^7 = 128)

1 = 2^0

2  = 2^1

4  = 2^2

8  = 2^3

16 = 2^4

32 = 2^5 

64 = 2^6

128 = 2^7

[ Das '^' Zeichen bedeutet "hoch" deutet also an, dass die folgende Zahl im Exponenten der Zahl davor steht also Beispielsweise 2^2, gesprochen: " 2 hoch 2" oder auch " 2 zum Quadrat"]

Wir sehen relativ schnell wir können die Zahlen mithilfe dieser Potenzen ausdrücken:

56 = 64 - 8 = 2^6 - 8 = 2^6 - 2^3 = 2^3 *(2^3 - 1) = 8* (8 - 1) 

Analog können wir nun bei 84 vorgehen:

84 = 64 + 20 = 2^6 + 5 *2^2 = 2^2 *(2^4 + 5) = 2^2 *(16 + 5)

Wir haben nun also da stehen:

(2^3 *(2^3 - 1))/(2^2 *(2^4 + 5))  Und dieser Ausdruck ist nun wesentlich einfacher zu berechen aufgrund entsprechender Potenzgesetze :

(2^3 *(2^3 - 1))/(2^2 *(2^4 + 5)) = 2 * (2^3 - 1)/(2^4 + 5)

= 2 *(8 - 1)/(16 + 5) = 2 * 7/21 = 2 * 1/3 = 2/3 

Dieser Trick funktioniert so aber erst mal nur für gerade Zahlenpaare.

Hier vielleicht noch ein Beispiel: (in der Größenordnung zwischen 2^0 bis 2^7)

1)  156/184 = 

156 = 128 + 28 = 2^7 + 2^2 *7 = 2^2 *(2^5 + 7) = 2^2 *(32 + 7)= 2^2 *(39)

184 = 128 + 56 = 2^7 + 64 - 8 = 2^7 + 2^6 - 2^3 = 2^3(2^4 + 2^3 - 1) 

= 2^3 *(16 + 8 - 1) = 2^3 *(23)

[ Der Schritt von 56 zu 64 - 8 erklärt sich dadurch, dass man möglichst viele 2er Potenzen da stehen haben möchte (zum Ausklammern), dass heißt du solltest jede Zahl wenn möglich in diesem Zusammenhang in eine Summe aus 2er-Potenzen umwandeln]

Setzen wir das nun also ein:

( 2^2 *(39))/(2^3 *(23)) = 39/(2*(23)) = 39/46 

Wir sehen hier direkt das nicht weiter vereinfacht werden kann. Sinn und Zweck dieser Abschätzung ist es eine große Zahl in eine relativ kleine zu verwandeln, wie hier geschehen, wobei es nur um gerade Zahlen ging.

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entweder immer weiter durch 2 teilen: 56/84=28/42=14/21 und jetzt hier erkennen, dass 7 der kleinste gemeinsame Teiler (oder wie das noch einmal hieß) ist 14/21=2/3

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Ja das sind 2/3 (Wir haben einen Taschenrechner dafür)

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